数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \frac{1}{1+2+3+4}, \dots$ の初項から第10項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{1+2}, \frac{1}{1+2+3}, \frac{1}{1+2+3+4}, \dots$ の初項から第10項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、数列の一般項を求めます。第 $n$ 項の分母は $1+2+3+\dots+n = \frac{n(n+1)}{2}$ ですから、数列の一般項 $a_n$ は

$$a_n = \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2}{n(n+1)}$$

となります。

次に、この一般項を部分分数分解します。

$$a_n = \frac{2}{n(n+1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$

数列の初項から第10項までの和 $S_{10}$ は、

\begin{align*} S_{10} &= \sum_{n=1}^{10} a_n \\ &= \sum_{n=1}^{10} 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= 2 \sum_{n=1}^{10} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \\ &= 2 \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right) \right] \\ &= 2 \left( 1 - \frac{1}{11} \right) \\ &= 2 \left( \frac{11-1}{11} \right) \\ &= 2 \left( \frac{10}{11} \right) \\ &= \frac{20}{11} \end{align*}

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{20}{11}$