問題は数列に関する3つの部分から構成されています。 (1) 初項と第10項が与えられた等差数列の公差と一般項を求めます。 (2) 2つの条件を満たす等比数列の初項、公比、一般項を求めます。 (3) (1)と(2)で求めた2つの数列に共通する項の総和を求めます。

1. 問題の内容

問題は数列に関する3つの部分から構成されています。

(1) 初項と第10項が与えられた等差数列の公差と一般項を求めます。

(2) 2つの条件を満たす等比数列の初項、公比、一般項を求めます。

(3) (1)と(2)で求めた2つの数列に共通する項の総和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ について、初項 $a_1 = 74$、第10項 $a_{10} = 56$ が与えられています。公差を $d$ とすると、$a_{10} = a_1 + 9d$ より、$56 = 74 + 9d$ となります。これを解くと、$9d = -18$ より $d = -2$ となります。一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d = 74 + (n-1)(-2) = -2n + 76$ となります。

(2) 等比数列 $\{b_n\}$ について、$b_2 + b_3 = 24$ かつ $b_5 + b_6 = 192$ が与えられています。初項を $a$、公比を $r$ とすると、$b_2 = ar$、$b_3 = ar^2$、$b_5 = ar^4$、$b_6 = ar^5$ となります。よって、$ar + ar^2 = ar(1+r) = 24$ と $ar^4 + ar^5 = ar^4(1+r) = 192$ が成り立ちます。2番目の式を1番目の式で割ると、$\frac{ar^4(1+r)}{ar(1+r)} = \frac{192}{24}$ となり、$r^3 = 8$ より、$r = 2$ となります。これを $ar(1+r) = 24$ に代入すると、$a(2)(1+2) = 6a = 24$ となり、$a = 4$ となります。したがって、一般項は $b_n = ar^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$ となります。

(3) $a_n = -2n + 76$ と $b_n = 2^{n+1}$ に共通する項の総和を求めます。共通する項は、$a_n = b_m$ を満たす整数の組 $(n, m)$ です。つまり、$-2n + 76 = 2^{m+1}$ を満たす $n, m$ を探します。

$m = 1$ のとき、$b_1 = 2^{1+1} = 4$、$a_n = 4$ とすると $-2n + 76 = 4$ より $-2n = -72$、$n = 36$ なので、$a_{36} = b_1 = 4$。

$m = 2$ のとき、$b_2 = 2^{2+1} = 8$、$a_n = 8$ とすると $-2n + 76 = 8$ より $-2n = -68$、$n = 34$ なので、$a_{34} = b_2 = 8$。

$m = 3$ のとき、$b_3 = 2^{3+1} = 16$、$a_n = 16$ とすると $-2n + 76 = 16$ より $-2n = -60$、$n = 30$ なので、$a_{30} = b_3 = 16$。

$m = 4$ のとき、$b_4 = 2^{4+1} = 32$、$a_n = 32$ とすると $-2n + 76 = 32$ より $-2n = -44$、$n = 22$ なので、$a_{22} = b_4 = 32$。

$m = 5$ のとき、$b_5 = 2^{5+1} = 64$、$a_n = 64$ とすると $-2n + 76 = 64$ より $-2n = -12$、$n = 6$ なので、$a_6 = b_5 = 64$。

$m = 6$ のとき、$b_6 = 2^{6+1} = 128$ とすると、$a_n = 128$ より $-2n + 76 = 128$ より $-2n = 52$、$n = -26$となり不適

共通項は4, 8, 16, 32, 64であるから、総和は $4+8+16+32+64 = 124$

3. 最終的な答え

(1) 公差：-2, 一般項：$a_n = -2n + 76$

(2) 初項：4, 公比：2, 一般項：$b_n = 2^{n+1}$

(3) 共通の項の総和：124