与えられた問題は、数列に関する3つの小問から構成されています。 (1) 等差数列 $\{a_n\}$ の初項が74、第10項が56であるとき、公差と一般項を求めます。 (2) 等比数列 $\{b_n\}$ について、$b_2 + b_3 = 24$、$b_5 + b_6 = 192$ が与えられています。初項と公比、および一般項を求めます。 (3) (1)で求めた数列 $\{a_n\}$ と(2)で求めた数列 $\{b_n\}$ に共通する項の総和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、数列に関する3つの小問から構成されています。

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ の初項が74、第10項が56であるとき、公差と一般項を求めます。

(2) 等比数列 $\{b_n\}$ について、$b_2 + b_3 = 24$、$b_5 + b_6 = 192$ が与えられています。初項と公比、および一般項を求めます。

(3) (1)で求めた数列 $\{a_n\}$ と(2)で求めた数列 $\{b_n\}$ に共通する項の総和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列 $\{a_n\}$ について

初項 $a_1 = 74$、第10項 $a_{10} = 56$ です。

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。ここで $d$ は公差です。

$a_{10} = a_1 + 9d$ なので、

$56 = 74 + 9d$

$9d = 56 - 74 = -18$

$d = -2$

したがって、公差は -2 です。

一般項は $a_n = 74 + (n-1)(-2) = 74 - 2n + 2 = -2n + 76$

(2) 等比数列 $\{b_n\}$ について

$b_2 + b_3 = 24$、 $b_5 + b_6 = 192$ が与えられています。

等比数列の一般項は $b_n = ar^{n-1}$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

$b_2 + b_3 = ar + ar^2 = ar(1+r) = 24$

$b_5 + b_6 = ar^4 + ar^5 = ar^4(1+r) = 192$

$\frac{ar^4(1+r)}{ar(1+r)} = \frac{192}{24}$

$r^3 = 8$

$r = 2$ (公比は実数なので)

$ar(1+r) = 24$ に $r=2$ を代入すると、

$a \cdot 2 (1+2) = 24$

$6a = 24$

$a = 4$

したがって、初項は 4、公比は 2 です。

一般項は $b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$

(3) 共通な項の総和

$a_n = -2n + 76$

$b_n = 2^{n+1}$

共通な項を $c_n$ とすると、$c_n$ は $a_n$ と $b_n$ の両方に含まれる必要があります。

$a_n = b_m$ となるような $n$ と $m$ を探します。

いくつかの項を書き出してみます。

$a_1 = 74, a_2 = 72, a_3 = 70, a_4 = 68, a_5 = 66, \dots$

$b_1 = 4, b_2 = 8, b_3 = 16, b_4 = 32, b_5 = 64, b_6 = 128, \dots$

$a_n = b_m$

$-2n + 76 = 2^{m+1}$

$n = \frac{76 - 2^{m+1}}{2} = 38 - 2^m$

$m=1$のとき、$n = 38 - 2 = 36$、 $a_{36} = -2(36) + 76 = 4 = b_1$

$m=5$のとき、$n = 38 - 32 = 6$、$a_6 = -2(6) + 76 = 64 = b_5$

共通な項は 4 と 64 です。

共通な項の総和は $4 + 64 = 68$

3. 最終的な答え

(1) 公差は -2 で、一般項は $a_n = -2n + 76$ です。

(2) 初項は 4 で、公比は 2 で、一般項は $b_n = 2^{n+1}$ です。

(3) 共通な項の総和は 68 です。