全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$であるとき、以下の値を求めよ。 (1) $n(\overline{B})$ (2) $n(A \cup B)$ (3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$n(U) = 40$, $n(A) = 18$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 6$であるとき、以下の値を求めよ。

(1) $n(\overline{B})$

(2) $n(A \cup B)$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{B})$を求める。$\overline{B}$は$B$の補集合なので、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$で求められる。

$n(\overline{B}) = 40 - 25 = 15$

(2) $n(A \cup B)$を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$なので、

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6 = 37$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$を求める。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$なので、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$で求められる。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 40 - 37 = 3$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{B}) = 15$

(2) $n(A \cup B) = 37$

(3) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$