関数 $y = x^4 - 8x^2 + 1$ の最大値または最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = x^4 - 8x^2 + 1$ の最大値または最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = t$ とおくと、$t \ge 0$ となり、関数は $y = t^2 - 8t + 1$ と表せる。

次に、$y$ を $t$ について平方完成する。

$y = t^2 - 8t + 1 = (t - 4)^2 - 16 + 1 = (t - 4)^2 - 15$

$t \ge 0$ であるから、$t = 4$ のとき最小値をとる。このとき、$x^2 = 4$ なので、$x = \pm 2$ である。

また、$t = 0$ のとき、$y = 1$ となる。これは、$x^2 = 0$ より、$x = 0$ のときである。

$y = (t-4)^2 - 15$ のグラフを考えると、$t \ge 0$ において、$t=4$ で最小値を取り、$t$が小さくなるほど$y$の値は大きくなる。

$t=4$のとき、$y = (4-4)^2 - 15 = -15$

$t=0$のとき、$y = (0-4)^2 - 15 = 16 - 15 = 1$

したがって、最小値は$-15$ ($x = \pm 2$のとき)であり、最大値は存在しない。

3. 最終的な答え

最小値：-15 （x = ±2 のとき）

最大値：なし