2つの二次方程式 $x^2 - (m+1)x - m^2 = 0$ と $x^2 - 2mx - m = 0$ がただ1つの共通解を持つとき、$m$ の値と、そのときの共通解 $x$ の値を求める。ただし、$m$ は 0 でない実数とする。

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $x^2 - (m+1)x - m^2 = 0$ と $x^2 - 2mx - m = 0$ がただ1つの共通解を持つとき、$m$ の値と、そのときの共通解 $x$ の値を求める。ただし、$m$ は 0 でない実数とする。

2. 解き方の手順

2つの二次方程式の共通解を $\alpha$ とする。$\alpha$ は次の2つの式を満たす。

$$\alpha^2 - (m+1)\alpha - m^2 = 0 \quad \cdots (1)$$

$$\alpha^2 - 2m\alpha - m = 0 \quad \cdots (2)$$

(1)-(2) より、

$$-(m+1)\alpha + 2m\alpha - m^2 + m = 0$$

$$(m-1)\alpha = m^2 - m$$

$$(m-1)\alpha = m(m-1)$$

$m \neq 1$ のとき、$\alpha = m$。

$\alpha = m$ を (2) に代入すると、

$$m^2 - 2m^2 - m = 0$$

$$-m^2 - m = 0$$

$$-m(m+1) = 0$$

$m \neq 0$ より、$m = -1$。このとき、$\alpha = -1$。

$m=1$ のとき、(1),(2) はそれぞれ

$$x^2 - 2x - 1 = 0$$

$$x^2 - 2x - 1 = 0$$

となる。これは2つの式が一致し、共通解を1つだけ持たないから、$m=1$ は不適。

したがって、$m=-1$ であり、共通解は $\alpha = -1$ である。

3. 最終的な答え

$m$の値は $-1$であり、そのときの共通解は $x = -1$である。