$\frac{19}{8 - \sqrt{7}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とする。 (1) $b$ の値を求めよ。 (2) $\frac{a^5 b^5}{4}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{19}{8 - \sqrt{7}}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とする。

(1) $b$ の値を求めよ。

(2) $\frac{a^5 b^5}{4}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{19}{8 - \sqrt{7}}$ を有理化する。

分子と分母に $8 + \sqrt{7}$ をかけると、

$\frac{19}{8 - \sqrt{7}} = \frac{19(8 + \sqrt{7})}{(8 - \sqrt{7})(8 + \sqrt{7})} = \frac{19(8 + \sqrt{7})}{64 - 7} = \frac{19(8 + \sqrt{7})}{57} = \frac{8 + \sqrt{7}}{3}$

$\sqrt{7}$ の値を評価する。$2 < \sqrt{7} < 3$ であるから、$2.6 < \sqrt{7} < 2.7$ と考えても良い。

$\frac{8 + 2}{3} < \frac{8 + \sqrt{7}}{3} < \frac{8 + 3}{3}$ より、$\frac{10}{3} < \frac{8 + \sqrt{7}}{3} < \frac{11}{3}$

$3.33... < \frac{8 + \sqrt{7}}{3} < 3.66...$ である。したがって整数部分 $a = 3$ である。

(1) 小数部分 $b$ は、$\frac{8 + \sqrt{7}}{3} - a$ で求められる。

$b = \frac{8 + \sqrt{7}}{3} - 3 = \frac{8 + \sqrt{7} - 9}{3} = \frac{\sqrt{7} - 1}{3}$

(2) $\frac{a^5 b^5}{4}$ を計算する。

$\frac{a^5 b^5}{4} = \frac{(ab)^5}{4} = \frac{(3 \cdot \frac{\sqrt{7} - 1}{3})^5}{4} = \frac{(\sqrt{7} - 1)^5}{4}$

$(\sqrt{7}-1)^2 = 7 - 2\sqrt{7} + 1 = 8 - 2\sqrt{7} = 2(4-\sqrt{7})$

$(\sqrt{7}-1)^4 = [2(4-\sqrt{7})]^2 = 4(16 - 8\sqrt{7} + 7) = 4(23-8\sqrt{7})$

$(\sqrt{7}-1)^5 = (\sqrt{7}-1) \cdot 4(23 - 8\sqrt{7}) = 4(23\sqrt{7} - 16\cdot7 - 23 + 8\sqrt{7}) = 4(31\sqrt{7} - 112 - 23) = 4(31\sqrt{7} - 135)$

$\frac{(\sqrt{7} - 1)^5}{4} = 31\sqrt{7} - 135$

3. 最終的な答え

(1) $b = \frac{\sqrt{7} - 1}{3}$

(2) $\frac{a^5 b^5}{4} = 31\sqrt{7} - 135$