与えられた行列 A と B が正則かどうかを調べ、正則であれば逆行列を求める問題です。 行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -4 \\ 4 & -1 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$ について、それぞれ正則性と逆行列を調べます。

1. 問題の内容

与えられた行列 A と B が正則かどうかを調べ、正則であれば逆行列を求める問題です。

行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ と行列 $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -4 \\ 4 & -1 & -3 \\ 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$ について、それぞれ正則性と逆行列を調べます。

2. 解き方の手順

行列が正則かどうかを調べるには、行列式を計算します。行列式が 0 でなければ正則であり、逆行列が存在します。逆行列が存在する場合は、掃き出し法などを用いて逆行列を求めます。

(1) 行列 A について

まず、行列 A の行列式を計算します。

$det(A) = 0 \cdot (3 \cdot 0 - 1 \cdot 0) - 5 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + 2 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 3) = 0 - 5 \cdot (-1) + 2 \cdot (-3) = 5 - 6 = -1$

$det(A) = -1 \neq 0$ なので、行列 A は正則です。

次に、A の逆行列を掃き出し法で求めます。

$\begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 &|& 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 &|& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 2 &|& 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 &|& 0 & 1 & -1 \\ 0 & 5 & 2 &|& 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 1 &|& 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 &|& 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 0 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 &|& -3 & 6 & -4 \\ 0 & 0 & 1 &|& 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 &|& -1 & 2 & -4/3 \\ 0 & 0 & 1 &|& 3 & -5 & 3 \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -4/3 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -4/3 \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix}$

(2) 行列 B について

まず、行列 B の行列式を計算します。

$det(B) = 4 \cdot ((-1) \cdot (-3) - (-3) \cdot (-1)) - (-1) \cdot (4 \cdot (-3) - (-3) \cdot 3) + (-4) \cdot (4 \cdot (-1) - (-1) \cdot 3) = 4 \cdot (3 - 3) + 1 \cdot (-12 + 9) - 4 \cdot (-4 + 3) = 4 \cdot 0 + 1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-1) = 0 - 3 + 4 = 1$

$det(B) = 1 \neq 0$ なので、行列 B は正則です。

次に、B の逆行列を掃き出し法で求めます。

$\begin{pmatrix} 4 & -1 & -4 &|& 1 & 0 & 0 \\ 4 & -1 & -3 &|& 0 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 4 & -1 & -4 &|& 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -3 &|& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 &|& -3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &|& -1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 &|& -3 & 3 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &|& 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 &|& 3 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 &|& -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) A は正則であり、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -\frac{4}{3} \\ 3 & -5 & 3 \end{pmatrix}$

(2) B は正則であり、$B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$