(1) $(x^2 + x - \frac{1}{x})^7$ の展開式における $x^5$ の項の係数を求める。 (2) $a$を実数とする。$(1+ax)^5(x-\frac{2}{x})^4$ の展開式における、$x^4$の係数が41となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $(x^2 + x - \frac{1}{x})^7$ の展開式における $x^5$ の項の係数を求める。

(2) $a$を実数とする。$(1+ax)^5(x-\frac{2}{x})^4$ の展開式における、$x^4$の係数が41となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + x - \frac{1}{x})^7$ の展開式における $x^5$ の項の係数を求める。

多項定理を用いる。$p+q+r=7$を満たす整数$p, q, r$を用いて一般項を表すと、

$\frac{7!}{p!q!r!}(x^2)^p(x)^q(-\frac{1}{x})^r = \frac{7!}{p!q!r!}(-1)^r x^{2p+q-r}$

ここで、$2p+q-r=5$ と $p+q+r=7$ を満たす整数の組$(p, q, r)$を探す。

$2p+q-r = 5$と$p+q+r = 7$から$3r = 2+p+q-(2p+q) = 2p+2 \Rightarrow p = 3r - 2$を得る。

$p+q+r = 7$に代入して$3r-2 + q+r = 7 \Rightarrow 4r + q = 9 \Rightarrow q = 9-4r$

$p = 3r - 2, q = 9 - 4r$ となるので、

$p \geq 0, q \geq 0, r \geq 0$ から

$3r - 2 \geq 0$ より $r \geq \frac{2}{3}$ だから$r \geq 1$。

$9 - 4r \geq 0$ より $r \leq \frac{9}{4}$ だから$r \leq 2$。

よって$r=1, 2$を調べる。

$r = 1$のとき、$p = 3(1) - 2 = 1, q = 9 - 4(1) = 5$

$r = 2$のとき、$p = 3(2) - 2 = 4, q = 9 - 4(2) = 1$

$p+q+r = 1+5+1 = 7$

$p+q+r = 4+1+2 = 7$

係数はそれぞれ

$\frac{7!}{1!5!1!}(-1)^1 = \frac{7 \cdot 6}{1} \cdot (-1) = -42$

$\frac{7!}{4!1!2!}(-1)^2 = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 1 = 105$

よって、$x^5$の項の係数は$-42+105 = 63$

(2) $(1+ax)^5(x-\frac{2}{x})^4$ の展開式における、$x^4$の係数が41となるような $a$ の値を求める。

$(1+ax)^5 = \sum_{i=0}^5 {}_5C_i (ax)^i$

$(x-\frac{2}{x})^4 = \sum_{j=0}^4 {}_4C_j x^{4-j} (-\frac{2}{x})^j = \sum_{j=0}^4 {}_4C_j (-2)^j x^{4-2j}$

求める係数は、$i+4-2j = 4$ を満たす $i, j$ について、

${}_5C_i a^i \cdot {}_4C_j (-2)^j$ を足し合わせたものになる。

$i = 2j$ かつ $0 \leq i \leq 5, 0 \leq j \leq 4$ より、

$j=0, i=0$: ${}_5C_0 a^0 \cdot {}_4C_0 (-2)^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

$j=1, i=2$: ${}_5C_2 a^2 \cdot {}_4C_1 (-2)^1 = 10 \cdot a^2 \cdot 4 \cdot (-2) = -80a^2$

$j=2, i=4$: ${}_5C_4 a^4 \cdot {}_4C_2 (-2)^2 = 5 \cdot a^4 \cdot 6 \cdot 4 = 120a^4$

係数の合計は$1-80a^2+120a^4 = 41$

$120a^4 - 80a^2 - 40 = 0$

$3a^4 - 2a^2 - 1 = 0$

$(3a^2+1)(a^2-1) = 0$

$a^2 = 1$

$a = \pm 1$

$3a^2+1 = 0$ より $a^2 = -\frac{1}{3}$. $a$は実数より不適。

よって $a = \pm 1$

3. 最終的な答え

(1) $63$

(2) $a = \pm 1$