与えられた式 $(x+y+1)^4-(x+y)^4$ を簡略化します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+1)^4-(x+y)^4$ を簡略化します。

2. 解き方の手順

$a = x+y$ と置くと、与えられた式は $(a+1)^4 - a^4$ となります。二項定理を用いて $(a+1)^4$ を展開すると

$(a+1)^4 = a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1$

となります。したがって、

$(a+1)^4 - a^4 = (a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1) - a^4 = 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1$

次に、$a = x+y$ を代入します。

$4(x+y)^3 + 6(x+y)^2 + 4(x+y) + 1$

$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

したがって、

$4(x+y)^3 + 6(x+y)^2 + 4(x+y) + 1 = 4(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + 6(x^2 + 2xy + y^2) + 4(x+y) + 1$

$= 4x^3 + 12x^2y + 12xy^2 + 4y^3 + 6x^2 + 12xy + 6y^2 + 4x + 4y + 1$

3. 最終的な答え

$4x^3 + 4y^3 + 12x^2y + 12xy^2 + 6x^2 + 6y^2 + 12xy + 4x + 4y + 1$