## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

(1) 実数 $a, b, c$ が $a+b+c=0$ および $abc \neq 0$ を満たすとき、$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$ の値を求めよ。

(2) $\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}$ が成り立つとき、この式の値を、$x+y+z \neq 0$ の場合と $x+y+z = 0$ の場合に分けて求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1)**

与えられた式を展開します。

$a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b}$

この式を整理すると、

$\frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} = \frac{a(a c + a b) + b(b a + b c) + c(c b + c a)}{abc} = \frac{a^2c + a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a}{abc}$

分子を整理すると、

$a^2c + a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a = (a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc$

与えられた条件 $a+b+c=0$ より、

$(a+b+c)(ab+bc+ca) - 3abc = 0(ab+bc+ca) - 3abc = -3abc$

したがって、

$\frac{a^2c + a^2b + b^2a + b^2c + c^2b + c^2a}{abc} = \frac{-3abc}{abc} = -3$

**(2)**

$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z} = k$ とおく。

すると、

$y+z = kx$

$z+x = ky$

$x+y = kz$

これらの式を全て足し合わせると、

$2(x+y+z) = k(x+y+z)$

**[1] $x+y+z \neq 0$ のとき**

$k = 2$

したがって、$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z} = 2$

**[2] $x+y+z = 0$ のとき**

$x+y = -z$

$y+z = -x$

$z+x = -y$

したがって、

$\frac{y+z}{x}=\frac{-x}{x} = -1$

$\frac{z+x}{y}=\frac{-y}{y} = -1$

$\frac{x+y}{z}=\frac{-z}{z} = -1$

よって、$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z} = -1$

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3. 最終的な答え

(1) -3

(2) $x+y+z \neq 0$ のとき、2

　$x+y+z = 0$ のとき、-1