関数 $y = 2x^2 + 4ax$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を、$a$ の値の範囲に応じてそれぞれ求める問題です。 (1) $a \leq -2$ (2) $-2 < a < -1$ (3) $a = -1$ (4) $-1 < a < 0$ (5) $a \geq 0$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 + 4ax$ の $0 \leq x \leq 2$ における最大値と最小値を、$a$ の値の範囲に応じてそれぞれ求める問題です。

(1) $a \leq -2$

(2) $-2 < a < -1$

(3) $a = -1$

(4) $-1 < a < 0$

(5) $a \geq 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2x^2 + 4ax = 2(x^2 + 2ax) = 2(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) = 2(x+a)^2 - 2a^2$

したがって、この関数の軸は $x = -a$ であり、頂点の座標は $(-a, -2a^2)$ です。

定義域は $0 \leq x \leq 2$ であることに注意し、軸の位置によって場合分けします。

(1) $a \leq -2$ のとき、$-a \geq 2$ であるので、軸は定義域の右外にあります。

よって、$x=0$ で最大値を取り、$x=2$ で最小値を取ります。

最大値: $y(0) = 2(0)^2 + 4a(0) = 0$

最小値: $y(2) = 2(2)^2 + 4a(2) = 8 + 8a$

(2) $-2 < a < -1$ のとき、$1 < -a < 2$ となり、軸は定義域の中にあります。

よって、$x=0$ で最大値を取り、$x = -a$ で最小値を取ります。

最大値: $y(0) = 0$

最小値: $y(-a) = -2a^2$

(3) $a = -1$ のとき、軸は $x=1$ となり、定義域の中にあります。

よって、$x=0$ で最大値を取り、$x = -a = 1$ で最小値を取ります。

最大値: $y(0) = 0$

最小値: $y(1) = 2(1)^2 + 4(-1)(1) = 2 - 4 = -2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき、$0 < -a < 1$ となり、軸は定義域の中にあります。

よって、$x=2$ で最大値を取り、$x = -a$ で最小値を取ります。

最大値: $y(2) = 8 + 8a$

最小値: $y(-a) = -2a^2$

(5) $a \geq 0$ のとき、$-a \leq 0$ であるので、軸は定義域の左外にあります。

よって、$x=2$ で最大値を取り、$x=0$ で最小値を取ります。

最大値: $y(2) = 8 + 8a$

最小値: $y(0) = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a \leq -2$ のとき、最大値: $0$、最小値: $8 + 8a$

(2) $-2 < a < -1$ のとき、最大値: $0$、最小値: $-2a^2$

(3) $a = -1$ のとき、最大値: $0$、最小値: $-2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき、最大値: $8 + 8a$、最小値: $-2a^2$

(5) $a \geq 0$ のとき、最大値: $8 + 8a$、最小値: $0$