2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求めます。 (3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $a$ の値が変化するとき、$m(a)$ の最大値と最小値、および $m(a)=4$ となる $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) $a \le x \le a+2$ における関数 $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求めます。

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $a$ の値が変化するとき、$m(a)$ の最大値と最小値、および $m(a)=4$ となる $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 6x - 3a + 18 = (x - 3)^2 - 9 - 3a + 18 = (x - 3)^2 - 3a + 9$

したがって、頂点の座標は $(3, -3a+9)$ です。

(2) $a \le x \le a+2$ における $f(x)$ の最小値を $m(a)$ とします。

軸は $x=3$ です。

(i) $a+2 < 3$ つまり $a < 1$ のとき、区間 $[a, a+2]$ で $f(x)$ は減少するので、最小値は $f(a+2)$ です。

$m(a) = f(a+2) = (a+2)^2 - 6(a+2) - 3a + 18 = a^2 + 4a + 4 - 6a - 12 - 3a + 18 = a^2 - 5a + 10$

(ii) $a \le 3 \le a+2$ つまり $1 \le a \le 3$ のとき、区間 $[a, a+2]$ に軸が含まれるので、最小値は頂点の $y$ 座標です。

$m(a) = -3a+9$

(iii) $a > 3$ のとき、区間 $[a, a+2]$ で $f(x)$ は増加するので、最小値は $f(a)$ です。

$m(a) = f(a) = a^2 - 6a - 3a + 18 = a^2 - 9a + 18$

(3) $0 \le a \le 8$ の範囲で $m(a)$ の最大値と最小値を求めます。

$m(a)$ は以下のようになります。

$m(a) = \begin{cases} a^2 - 5a + 10 & (0 \le a < 1) \\ -3a+9 & (1 \le a \le 3) \\ a^2 - 9a + 18 & (3 < a \le 8) \end{cases}$

$0 \le a < 1$ のとき、 $m(a) = a^2 - 5a + 10 = (a - \frac{5}{2})^2 + 10 - \frac{25}{4} = (a - \frac{5}{2})^2 + \frac{15}{4}$

$1 \le a \le 3$ のとき、 $m(a) = -3a+9$ は減少関数です。

$3 < a \le 8$ のとき、 $m(a) = a^2 - 9a + 18 = (a - \frac{9}{2})^2 + 18 - \frac{81}{4} = (a - \frac{9}{2})^2 - \frac{9}{4}$

$m(0) = 10$

$m(1) = -3(1) + 9 = 6$

$m(3) = -3(3) + 9 = 0$

$m(8) = 8^2 - 9(8) + 18 = 64 - 72 + 18 = 10$

$a = 0$ のとき最大値 $10$

$3 < a \le 8$ の範囲で、軸 $a = \frac{9}{2} = 4.5$ が範囲に含まれるので、最小値は $m(4.5) = - \frac{9}{4} = -2.25$ となります。

しかし、$a=3$ で、$m(3) = 0$ なので、$a > 3$ のとき、$m(a) = a^2 - 9a + 18$ で最小値を調べると、$a=4.5$ で最小値 $-9/4$ となりますが、$a > 3$ なので、最小値は存在しません。

最小値は、$a = 3$ で $m(3) = 0$です。

$m(a) = 4$ となる $a$ の値を求めます。

(i) $a < 1$ のとき、$a^2 - 5a + 10 = 4 \implies a^2 - 5a + 6 = 0 \implies (a-2)(a-3) = 0$. 解なし。

(ii) $1 \le a \le 3$ のとき、 $-3a + 9 = 4 \implies -3a = -5 \implies a = \frac{5}{3}$

(iii) $a > 3$ のとき、$a^2 - 9a + 18 = 4 \implies a^2 - 9a + 14 = 0 \implies (a-2)(a-7) = 0 \implies a=2, a=7$

$a > 3$ なので、$a = 7$

3. 最終的な答え

ア：3

イ：3

ウ：9

エ：1

オ：5

カキ：10

ク：3

ケコ：-3

サ：9

シ：9

スセ：18

ソ：0

タ：8

チツ：10

テ：9

ト：2

ナニ：-9

ヌ：4

ネ：5

ハ：3