与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 11x^2y^2 + y^4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

この式を因数分解するために、平方完成を利用します。まず、$x^4 + 2x^2y^2 + y^4$ が $(x^2 + y^2)^2$ であることに注目します。

与えられた式を

$x^4 - 11x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 13x^2y^2$

と変形します。

これは

$(x^2 + y^2)^2 - 13x^2y^2$

となります。さらに変形すると

$(x^2 + y^2)^2 - (\sqrt{13}xy)^2$

となります。

これは $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形なので、

$(x^2 + y^2 + \sqrt{13}xy)(x^2 + y^2 - \sqrt{13}xy)$

となります。

通常、実数の範囲で因数分解する場合はここまでですが、複素数の範囲まで考慮すると、もう少し因数分解できます。

しかし、ここでは実数の範囲での因数分解を求められていると解釈して、これ以上は計算しません。

式を整理して記述します。

3. 最終的な答え

$(x^2 + \sqrt{13}xy + y^2)(x^2 - \sqrt{13}xy + y^2)$