0でない実数 $a, b, c, d$ が $3^a = 5^b = 7^c = 105^d$ を満たすとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

0でない実数 $a, b, c, d$ が $3^a = 5^b = 7^c = 105^d$ を満たすとき、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}$ が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$3^a = 5^b = 7^c = 105^d = k$ とおく ($k>0, k\neq 1$)。

このとき、

$3 = k^{\frac{1}{a}}$

$5 = k^{\frac{1}{b}}$

$7 = k^{\frac{1}{c}}$

となる。

また、$105 = 3 \times 5 \times 7$ であるから、

$105 = k^{\frac{1}{a}} \times k^{\frac{1}{b}} \times k^{\frac{1}{c}} = k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$

である。

一方で、$105 = k^{\frac{1}{d}}$ であるから、

$k^{\frac{1}{d}} = k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$

となる。

$k>0, k\neq 1$ であるから、指数部分を比較して、

$\frac{1}{d} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

を得る。したがって、$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}$