与えられた式 $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を注意深く観察すると、$(x-3y)^3$ の展開式に近い形であることがわかります。

$(x-3y)^3$ を展開してみましょう。

$(x-3y)^3 = x^3 - 3x^2(3y) + 3x(3y)^2 - (3y)^3$

$= x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$

与えられた式 $x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3$ と $(x-3y)^3 = x^3 - 9x^2y + 27xy^2 - 27y^3$ を比較します。

$x^3$ と $-27y^3$ の項は一致しています。しかし、他の項は異なります。

与えられた式を $(x-3y)$ を因数に持つ形に無理やり変形します。

$x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3 = (x-3y)(x^2 + ax y + by^2)$

と仮定します。展開すると

$x^3 + ax^2y + bx y^2 - 3x^2y - 3ax y^2 - 3by^3 = x^3 + (a-3)x^2y + (b-3a)xy^2 - 3by^3$

となります。

係数を比較すると以下の式が成り立ちます。

$a-3 = -6$

$b-3a = 18$

$-3b = -27$

これらの式を解きます。

$a = -6 + 3 = -3$

$b = 27 / 3 = 9$

$b-3a = 9 - 3(-3) = 9 + 9 = 18$

したがって、$a = -3$ および $b = 9$ となります。

よって、

$x^3 - 6x^2y + 18xy^2 - 27y^3 = (x-3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$

となります。

3. 最終的な答え

$(x-3y)(x^2 - 3xy + 9y^2)$