$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式を証明する。 (2) $3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a + 4b}$

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、次の不等式を証明する。

(2) $3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a + 4b}$

2. 解き方の手順

不等式の両辺が正なので、両辺を2乗して比較する。

左辺の2乗は、

$(3\sqrt{a} + 2\sqrt{b})^2 = (3\sqrt{a})^2 + 2(3\sqrt{a})(2\sqrt{b}) + (2\sqrt{b})^2 = 9a + 12\sqrt{ab} + 4b$

右辺の2乗は、

$(\sqrt{9a + 4b})^2 = 9a + 4b$

したがって、示すべき不等式は、

$9a + 12\sqrt{ab} + 4b > 9a + 4b$

これは、

$12\sqrt{ab} > 0$

$a > 0$かつ$b > 0$より$\sqrt{ab} > 0$ なので、

$12\sqrt{ab} > 0$は成り立つ。

よって、$3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a + 4b}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{a} + 2\sqrt{b} > \sqrt{9a + 4b}$ は成り立つ。