球と立方体があり、表面積の和が一定値 $k > 0$ に保たれています。球の半径を $r$ とし、球と立方体の体積の和を $V$ とします。 (1) $V$ を $r$ を用いて表してください。 (2) $V$ の増減を調べ、その最小値を求めてください。また、$V$ が最小値をとるときの、球の半径と立方体の1辺の長さの比を求めてください。

1. 問題の内容

球と立方体があり、表面積の和が一定値 $k > 0$ に保たれています。球の半径を $r$ とし、球と立方体の体積の和を $V$ とします。

(1) $V$ を $r$ を用いて表してください。

(2) $V$ の増減を調べ、その最小値を求めてください。また、$V$ が最小値をとるときの、球の半径と立方体の1辺の長さの比を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $V$ を $r$ で表す

- 立方体の1辺の長さを $x$ とおく。

- 球の表面積は $4\pi r^2$ であり、立方体の表面積は $6x^2$ である。

- 表面積の和が $k$ であるから、$4\pi r^2 + 6x^2 = k$。

- これより、$x^2 = \frac{k - 4\pi r^2}{6}$。よって、$x = \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$。ここで、$k - 4\pi r^2 \ge 0$ である必要があるので、$r^2 \le \frac{k}{4\pi}$。すなわち、$0 \le r \le \sqrt{\frac{k}{4\pi}}$。

- 球の体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ であり、立方体の体積は $x^3 = (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{3/2}$。

- よって、$V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{3/2}$。

(2) $V$ の最小値を求める

- $V$ を $r$ で微分する。

$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2 + \frac{3}{2} (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{1/2} \cdot \frac{-8\pi r}{6} = 4\pi r^2 - \frac{2\pi r}{\sqrt{6}} \sqrt{k - 4\pi r^2}$

- $\frac{dV}{dr} = 0$ となる $r$ を求める。

$4\pi r^2 = \frac{2\pi r}{\sqrt{6}} \sqrt{k - 4\pi r^2}$

$2r = \frac{1}{\sqrt{6}} \sqrt{k - 4\pi r^2}$

$4r^2 = \frac{k - 4\pi r^2}{6}$

$24r^2 = k - 4\pi r^2$

$(24 + 4\pi) r^2 = k$

$r^2 = \frac{k}{24 + 4\pi} = \frac{k}{4(6 + \pi)}$

$r = \sqrt{\frac{k}{4(6 + \pi)}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$

- このとき、$x = \sqrt{\frac{k - 4\pi (\frac{k}{4(6 + \pi)})}{6}} = \sqrt{\frac{k - \frac{\pi k}{6 + \pi}}{6}} = \sqrt{\frac{6k + \pi k - \pi k}{6(6 + \pi)}} = \sqrt{\frac{6k}{6(6 + \pi)}} = \sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$。

- $\frac{r}{x} = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}}{\sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}} = \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{4}{3}\pi r^3 + (\frac{k - 4\pi r^2}{6})^{3/2}$

(2) $V$ の最小値は $r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{6 + \pi}}$ のとき、$V = \frac{4}{3} \pi (\frac{1}{8} \frac{k}{(6 + \pi)^{3/2}}) + (\frac{k - \frac{\pi k}{6 + \pi}}{6})^{3/2} = \frac{\pi k}{6 (6 + \pi)^{3/2}} + \frac{k}{(6 + \pi)^{3/2}} = \frac{6 k + \pi k}{6(6 + \pi)^{3/2}} = \frac{(6 + \pi)k}{6 (6 + \pi)^{3/2}} = \frac{k}{6 \sqrt{6 + \pi}}$

球の半径と立方体の1辺の長さの比は $1:2$ 。