$\frac{dv}{dr} = 2\pi r \left(2r - \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}\right)$ のとき、$(0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}})$ であり、$\frac{dv}{dr} = 0$ となるのは、$r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ である。このとき、増減表をどのように考えればよいか。

1. 問題の内容

$\frac{dv}{dr} = 2\pi r \left(2r - \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}\right)$ のとき、$(0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}})$ であり、$\frac{dv}{dr} = 0$ となるのは、$r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ である。このとき、増減表をどのように考えればよいか。

2. 解き方の手順

増減表を作成するためには、$\frac{dv}{dr}$ の符号を調べる必要があります。

(1) まず、$r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ において $\frac{dv}{dr} = 0$ となることがわかっています。

(2) 次に、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ の範囲で $\frac{dv}{dr}$ の符号を調べます。

この範囲から適当な $r$ の値を一つ選び、$\frac{dv}{dr}$ に代入して符号を確認します。例えば、$r$ が 0 に近い小さな値の場合、$2\pi r$ は正であり、$\sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$ も正なので、$2r$ と $\sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$ の大小関係を比較します。$r$ が小さいとき、$2r$ は $\sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$ よりも小さくなる可能性が高いです。しかし、$r$が非常に小さいとき、$\frac{dv}{dr}$の符号を直接調べるのは難しい可能性があります。

(3) 最後に、$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で $\frac{dv}{dr}$ の符号を調べます。

この範囲から適当な $r$ の値を一つ選び、$\frac{dv}{dr}$ に代入して符号を確認します。$r$ が $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ より大きく $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ より小さいとき、$2r$ は $\sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$ よりも大きくなる可能性が高いです。

$\frac{dv}{dr} = 0$ となる $r = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ を境に、$\frac{dv}{dr}$ の符号が変化すると考えられます。もし、$\frac{dv}{dr}$ が、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ で負の値、$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ で正の値を取るなら、増減表は以下のようになります。

| r | 0 | ... | $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ |

|---|---|---|---|---|---|

| $\frac{dv}{dr}$ | | - | 0 | + | |

| v | | 減少 | 極小 | 増加 | |

逆に、$\frac{dv}{dr}$ が、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ で正の値、$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi + 6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ で負の値を取るなら、増減表は以下のようになります。

| r | 0 | ... | $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ |

|---|---|---|---|---|---|

| $\frac{dv}{dr}$ | | + | 0 | - | |

| v | | 増加 | 極大 | 減少 | |

$\frac{dv}{dr}$ の符号を調べるには、$2r - \sqrt{\frac{k - 4\pi r^2}{6}}$ の符号を調べれば良いことになります。

3. 最終的な答え

増減表を作成するためには、$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ を境に $\frac{dv}{dr}$ の符号を調べることが重要です。符号が分かれば、増加・減少の方向がわかります。具体的には、$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{k}{\pi + 6}}$ より小さい $r$ の値と大きい $r$ の値をそれぞれ$\frac{dv}{dr}$に代入して、$\frac{dv}{dr}$の符号を確認してください。