$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{(k-4\pi r^2)/6})$ が与えられています。ただし、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{k/\pi}$ です。$dv/dr = 0$ となるのは、$r = \frac{1}{2}\sqrt{k/(\pi+6)}$ のときです。このとき、どのように増減表を作れば良いか？

1. 問題の内容

$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{(k-4\pi r^2)/6})$ が与えられています。ただし、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{k/\pi}$ です。$dv/dr = 0$ となるのは、$r = \frac{1}{2}\sqrt{k/(\pi+6)}$ のときです。このとき、どのように増減表を作れば良いか？

2. 解き方の手順

まず、$dv/dr$ の符号を調べる必要があります。$r = \frac{1}{2}\sqrt{k/(\pi+6)}$ が、$dv/dr = 0$ となる点であることから、この値の前後で $dv/dr$ の符号が変化すると考えられます。

ステップ1: $dv/dr = 0$ となる $r$ の値を増減表に書き込む。

$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ を増減表に書き込みます。$r$の定義域は $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ です。

ステップ2: $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ の範囲で、$dv/dr$ の符号を調べる。

$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ の範囲で、$dv/dr > 0$ となるか、$dv/dr < 0$ となるかを調べます。例えば、$r = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ を $dv/dr$ に代入して符号を調べることができます。

$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{(k-4\pi r^2)/6})$ に $r = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ を代入すると、

$2r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$

$\sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} = \sqrt{\frac{k - 4\pi \frac{1}{16} \frac{k}{\pi+6}}{6}} = \sqrt{\frac{k - \frac{\pi}{4(\pi+6)} k}{6}} = \sqrt{\frac{4\pi k + 24k - \pi k}{24(\pi+6)}} = \sqrt{\frac{3\pi k + 24k}{24(\pi+6)}} = \sqrt{\frac{k(\pi + 8)}{8(\pi+6)}}$

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} - \sqrt{\frac{k(\pi+8)}{8(\pi+6)}} = \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} (\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{\pi+8}{8}}) = \sqrt{\frac{k}{\pi+6}} (\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{\pi+8}{8}})$

$\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{\pi+8}{8}} < 0$ より、$dv/dr < 0$ となります。

ステップ3: $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で、$dv/dr$ の符号を調べる。

$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で、$dv/dr > 0$ となるか、$dv/dr < 0$ となるかを調べます。例えば、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ に近い値を代入して符号を調べることができます。この範囲では、$dv/dr > 0$ となります。

ステップ4: 増減表を完成させる。

$r$ | $0$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$dv/dr$ | | $-$ | $0$ | $+$ |

$v$ | | $\searrow$ | 極小値 | $\nearrow$ |

3. 最終的な答え

増減表は、以下のようになります。

$r$ | $0$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$dv/dr$ | | $-$ | $0$ | $+$ |

$v$ | | $\searrow$ | 極小値 | $\nearrow$ |