$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ のとき、$(0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}})$ であり、$dv/dr = 0$ となるのは、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ である。このとき、増減表をどのように考えれば良いか。

1. 問題の内容

$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ のとき、$(0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}})$ であり、$dv/dr = 0$ となるのは、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ である。このとき、増減表をどのように考えれば良いか。

2. 解き方の手順

増減表を作成するためには、以下の手順で考えます。

ステップ1: $dv/dr = 0$ となる $r$ の値を求めます。問題文には、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ と与えられています。この値を $r_0$ と置きます。

$r_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$

ステップ2: 定義域を確認します。問題文には、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ と与えられています。この範囲で、$dv/dr$ の符号を調べます。

ステップ3: $dv/dr$ の符号を調べます。$0 < r < r_0$ の範囲と、$r_0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で、$dv/dr$ の符号を調べます。

$dv/dr = 2\pi r (2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ であるから、$2\pi r > 0$ なので、$(2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}})$ の符号を調べれば良いです。

$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のとき、$2r = \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ なので、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} = 0$。

$r < r_0$ のとき、$2r < \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ なので、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} < 0$。よって、$dv/dr < 0$。

$r > r_0$ のとき、$2r > \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ なので、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} > 0$。よって、$dv/dr > 0$。

ステップ4: 増減表を作成します。

| r | 0 | ... | $r_0$ | ... | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ |

| :---- | :-- | :-------- | :---------- | :----------------------------- | :--------------------------------- |

| dv/dr | | - | 0 | + | |

| v | | Decreasing | Minimum | Increasing | |

3. 最終的な答え

増減表は上記の通りです。$r = r_0 = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のときに、$v$ は極小値を取ります。$0 < r < r_0$ で $v$ は減少し、$r_0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ で $v$ は増加します。