与えられた $dv/dr$ の式と $dv/dr=0$ となる $r$ の値を基に、増減表をどのように作成するかを問う問題です。 具体的には、 $$ \frac{dv}{dr} = 2\pi r \left(2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} \right) $$ であり、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で考えます。 また、$dv/dr = 0$ となるのは、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のときです。

1. 問題の内容

与えられた $dv/dr$ の式と $dv/dr=0$ となる $r$ の値を基に、増減表をどのように作成するかを問う問題です。

具体的には、

$$\frac{dv}{dr} = 2\pi r \left(2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} \right)$$

であり、$0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ の範囲で考えます。

また、$dv/dr = 0$ となるのは、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のときです。

2. 解き方の手順

増減表を作成するには、$dv/dr$ の符号を調べる必要があります。

(1) $dv/dr$ の式を分析します。$2\pi r$ は $r>0$ の範囲で常に正の値をとるので、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ の符号を調べれば十分です。

(2) $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ の前後の $r$ の値に対して、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ の符号を調べます。

- $r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のとき、例えば $r=0$ のとき、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}} = -\sqrt{\frac{k}{6}} < 0$ となります。しかし、$r$ が $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ に近づくにつれて、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$ の値は0に近づきます。

- $r > \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のとき、$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ という範囲になります。$r$が $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ よりわずかに大きい場合、$2r - \sqrt{\frac{k-4\pi r^2}{6}}$は正の値をとります。

(3) これらの情報から増減表を作成します。$r$ の範囲は $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ であり、$r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ で $dv/dr = 0$ となります。

- $0 < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のとき、$dv/dr > 0$ （増加）。

- $r = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ のとき、$dv/dr = 0$。

- $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}} < r < \frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ のとき、$dv/dr < 0$ （減少）。

3. 最終的な答え

増減表は以下のようになります。

| $r$ | $0$ | $\cdots$ | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi+6}}$ | $\cdots$ | $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{\pi}}$ |

| ----------------------------------- | ----- | ----------------------------------------------------- | --------------------------------------- | ------------------------------------------- | ---------------------------------- |

| $\frac{dv}{dr}$ | | $+$ | $0$ | $-$ | |

| $v$ | | 増加 | 極大 | 減少 | |