与えられた式 $(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$ を展開して整理する問題です。ただし、計算しやすいように工夫する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)$ を展開して整理する問題です。ただし、計算しやすいように工夫する必要があります。

2. 解き方の手順

与えられた式を $(x+1)(x-3)$ と $(x+2)(x-4)$ のように順番を入れ替えて計算します。

まず、$(x+1)(x-3)$ を計算します。

$(x+1)(x-3) = x^2 -3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$

次に、$(x+2)(x-4)$ を計算します。

$(x+2)(x-4) = x^2 -4x + 2x - 8 = x^2 - 2x - 8$

ここで、$x^2 - 2x = A$ とおくと、

$(x^2 - 2x - 3)(x^2 - 2x - 8) = (A - 3)(A - 8) = A^2 - 8A - 3A + 24 = A^2 - 11A + 24$

$A$ を $x^2 - 2x$ に戻すと、

$(x^2 - 2x)^2 - 11(x^2 - 2x) + 24 = (x^4 - 4x^3 + 4x^2) - (11x^2 - 22x) + 24 = x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 11x^2 + 22x + 24 = x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 24$

3. 最終的な答え

$x^4 - 4x^3 - 7x^2 + 22x + 24$