$\frac{3}{4-\sqrt{13}}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{3}{4-\sqrt{13}}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。

$\frac{3}{4-\sqrt{13}} = \frac{3(4+\sqrt{13})}{(4-\sqrt{13})(4+\sqrt{13})} = \frac{3(4+\sqrt{13})}{16-13} = \frac{3(4+\sqrt{13})}{3} = 4+\sqrt{13}$

次に、$\sqrt{13}$ のおおよその値を求めます。

$3^2 = 9$ であり、$4^2 = 16$ なので、$3 < \sqrt{13} < 4$ であることが分かります。より正確に評価するために、$3.5^2 = 12.25$ であり、$3.6^2 = 12.96$ であり、$3.61^2 = 13.0321$ なので、$3.6 < \sqrt{13} < 3.61$ が分かります。

したがって、$4 + 3.6 < 4+\sqrt{13} < 4 + 3.61$、つまり、$7.6 < 4+\sqrt{13} < 7.61$ となります。

整数部分 $a$ は7であることが分かります。

小数部分 $b$ は、$b = (4+\sqrt{13}) - 7 = \sqrt{13}-3$ となります。

3. 最終的な答え

整数部分 $a = 7$

小数部分 $b = \sqrt{13} - 3$