問題(5)は、$y = \frac{|x+1|}{|x-1|}$ (ただし、$x \neq 1$)のグラフを描くことです。問題(6)は、$y = |x| + x$のグラフを描くことです。

1. 問題の内容

問題(5)は、$y = \frac{|x+1|}{|x-1|}$ (ただし、$x \neq 1$)のグラフを描くことです。問題(6)は、$y = |x| + x$のグラフを描くことです。

2. 解き方の手順

(5) $y = \frac{|x+1|}{|x-1|}$ の場合:

絶対値の定義から場合分けを行います。

(i) $x < -1$ のとき:

$|x+1| = -(x+1)$ かつ $|x-1| = -(x-1)$ なので、

$y = \frac{-(x+1)}{-(x-1)} = \frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1+2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$.

(ii) $-1 \le x < 1$ のとき:

$|x+1| = x+1$ かつ $|x-1| = -(x-1)$ なので、

$y = \frac{x+1}{-(x-1)} = \frac{x+1}{1-x} = \frac{-(1-x) + 2}{1-x} = -1 + \frac{2}{1-x}$.

(iii) $x > 1$ のとき:

$|x+1| = x+1$ かつ $|x-1| = x-1$ なので、

$y = \frac{x+1}{x-1} = \frac{x-1+2}{x-1} = 1 + \frac{2}{x-1}$.

漸近線は、$x=1$ と $y=1$ です。

(i)のとき、$x<-1$なので、$x=-1$に近づくと、$y=0$です。$x$が$-\infty$に近づくと$y$は$1$に近づきます。

(ii)のとき、$x\ge -1, x<1$なので、$x=-1$のとき、$y=0$です。$x$が$1$に近づくと、$y$は$\infty$に近づきます。

(iii)のとき、$x>1$なので、$x$が$1$に近づくと、$y$は$\infty$に近づきます。$x$が$\infty$に近づくと、$y$は$1$に近づきます。

(6) $y = |x| + x$ の場合:

絶対値の定義から場合分けを行います。

(i) $x \ge 0$ のとき:

$|x| = x$ なので、$y = x + x = 2x$.

(ii) $x < 0$ のとき:

$|x| = -x$ なので、$y = -x + x = 0$.

まとめると、

$x \ge 0$ のとき $y = 2x$,

$x < 0$ のとき $y = 0$.

3. 最終的な答え

(5) $y = \frac{|x+1|}{|x-1|}$ (ただし、$x \neq 1$)のグラフは、

$x < -1$ のとき $y = 1 + \frac{2}{x-1}$

$-1 \le x < 1$ のとき $y = -1 + \frac{2}{1-x}$

$x > 1$ のとき $y = 1 + \frac{2}{x-1}$

(6) $y = |x| + x$のグラフは、

$x \ge 0$ のとき $y = 2x$

$x < 0$ のとき $y = 0$