$(3x-2)^6$ を展開した式を求めます。

1. 問題の内容

$(3x-2)^6$ を展開した式を求めます。

2. 解き方の手順

二項定理を用います。二項定理は次の式で表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$

ここで、${}_n C_k$ は二項係数であり、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算されます。

今回の問題では、$a = 3x$, $b = -2$, $n = 6$ です。したがって、

$(3x-2)^6 = \sum_{k=0}^{6} {}_6 C_k (3x)^{6-k} (-2)^k$

これを展開すると、

${}_6 C_0 (3x)^6 (-2)^0 + {}_6 C_1 (3x)^5 (-2)^1 + {}_6 C_2 (3x)^4 (-2)^2 + {}_6 C_3 (3x)^3 (-2)^3 + {}_6 C_4 (3x)^2 (-2)^4 + {}_6 C_5 (3x)^1 (-2)^5 + {}_6 C_6 (3x)^0 (-2)^6$

それぞれの項を計算します。

* ${}_6 C_0 = 1$

* ${}_6 C_1 = 6$

* ${}_6 C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

* ${}_6 C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

* ${}_6 C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

* ${}_6 C_5 = 6$

* ${}_6 C_6 = 1$

したがって、

$(3x-2)^6 = 1 \cdot (3x)^6 \cdot 1 + 6 \cdot (3x)^5 \cdot (-2) + 15 \cdot (3x)^4 \cdot 4 + 20 \cdot (3x)^3 \cdot (-8) + 15 \cdot (3x)^2 \cdot 16 + 6 \cdot (3x) \cdot (-32) + 1 \cdot 1 \cdot 64$

$(3x-2)^6 = 1 \cdot 729x^6 \cdot 1 + 6 \cdot 243x^5 \cdot (-2) + 15 \cdot 81x^4 \cdot 4 + 20 \cdot 27x^3 \cdot (-8) + 15 \cdot 9x^2 \cdot 16 + 6 \cdot 3x \cdot (-32) + 1 \cdot 1 \cdot 64$

$(3x-2)^6 = 729x^6 - 2916x^5 + 4860x^4 - 4320x^3 + 2160x^2 - 576x + 64$

3. 最終的な答え

$729x^6 - 2916x^5 + 4860x^4 - 4320x^3 + 2160x^2 - 576x + 64$