数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ が収束するための条件は、$-1 < r \le 1$ である。

したがって、数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するための条件は、

$$-1 < x-1 \le 1$$

である。

各辺に1を足すと、

$$-1+1 < x-1+1 \le 1+1$$

$$0 < x \le 2$$

次に、極限値を求める。

$0 < x < 2$ のとき、$-1 < x-1 < 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} (x-1)^n = 0$$

$x=2$ のとき、$x-1 = 1$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} (x-1)^n = \lim_{n \to \infty} 1^n = 1$$

3. 最終的な答え

$x$ の値の範囲は $0 < x \le 2$ であり、

$0 < x < 2$ のとき極限値は $0$ 、

$x=2$ のとき極限値は $1$ である。