与えられた2つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x-3)(x-4)(x+4)(x+5)-180$ (2) $(x+1)(x+2)(x-2)(x-4)+2x^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの式を因数分解する問題です。

(1) $(x-3)(x-4)(x+4)(x+5)-180$

(2) $(x+1)(x+2)(x-2)(x-4)+2x^2$

2. 解き方の手順

(1) $(x-3)(x-4)(x+4)(x+5)-180$ を因数分解します。

まず、$(x-3)(x+4)$と$(x-4)(x+5)$をそれぞれ展開します。

$(x-3)(x+4) = x^2+x-12$

$(x-4)(x+5) = x^2+x-20$

ここで、$x^2+x = A$ と置くと、

$(x^2+x-12)(x^2+x-20)-180 = (A-12)(A-20)-180$

$=A^2-32A+240-180=A^2-32A+60$

$=(A-2)(A-30)=(x^2+x-2)(x^2+x-30)$

$=(x+2)(x-1)(x+6)(x-5)$

(2) $(x+1)(x+2)(x-2)(x-4)+2x^2$ を因数分解します。

まず、$(x+1)(x-2)$と$(x+2)(x-4)$をそれぞれ展開します。

$(x+1)(x-2) = x^2-x-2$

$(x+2)(x-4) = x^2-2x-8$

$(x^2-x-2)(x^2-2x-8)+2x^2 = x^4-2x^3-8x^2-x^3+2x^2+8x-2x^2+4x+16+2x^2$

$=x^4-3x^3-6x^2+12x+16$

ここで、$x^4-3x^3-6x^2+12x+16 = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ と仮定します。

定数項より、$bd = 16$ となります。

試しに、(x^2+4)(x^2-3x+4)とすると、$x^4-3x^3+4x^2+4x^2-12x+16 = x^4-3x^3+8x^2-12x+16$となり、一致しません。

(x^2+x-4)(x^2-4x-4)を試すと、$x^4-4x^3-4x^2+x^3-4x^2-4x-4x^2+16x+16 = x^4-3x^3-12x^2+12x+16$となり、一致しません。

因数定理を用いて、x=-1を代入すると、1+3-6-12+16=2 となるため、x+1は因数ではありません。

x=-2を代入すると、16+24-24-24+16 = 8となり、x+2は因数ではありません。

正攻法で解くのは難しそうなので、展開のペアを変えてみます。

$(x+1)(x+2)(x-2)(x-4)+2x^2 = ((x+1)(x-4))((x+2)(x-2))+2x^2 = (x^2-3x-4)(x^2-4)+2x^2 = x^4 - 3x^3 - 4x^2 - 4x^2 + 12x + 16 + 2x^2 = x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 12x + 16$

(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = (x^2+px+4)(x^2+qx+4) = x^4+qx^3+4x^2+px^3+pqx^2+4px+4x^2+4qx+16 = x^4 + (p+q)x^3 + (8+pq)x^2 + (4p+4q)x + 16

p+q = -3, 8+pq = -6, 4p+4q = 12より、p+q=-3, pq=-14, p+q=3より、矛盾しているため、因数分解できない。

$(x^2+x-4)(x^2-4x-4)$を試すと、$x^4-4x^3-4x^2+x^3-4x^2-4x-4x^2+16x+16 = x^4 - 3x^3 - 12x^2 + 12x + 16$

（x^2+ax+4)(x^2+bx+4)と置く。

ab+8 = -6, a+b = -3, 4a+4b = 12より,ab = -14, a+b = -3

a(-3-a) = -14より, -3a-a^2 = -14, a^2+3a-14 = 0となり、有理数の解を持たないため、これで正しい。

最終的に、$x^4-3x^3-6x^2+12x+16=(x^2-x-4)(x^2-2x-4)$となります

3. 最終的な答え

(1) $(x+2)(x-1)(x+6)(x-5)$

(2) $(x^2-x-4)(x^2-2x-4)$