$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $ab^2 + b^2 + 4ab + 4b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$, $b$, $ab^2 + b^2 + 4ab + 4b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ を有理化します。

$\frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \cdot \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$

次に、$3+2\sqrt{2}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めます。

$\sqrt{2}$ は約1.414なので、$2\sqrt{2}$ は約2.828となります。

したがって、$3+2\sqrt{2}$ は約5.828となります。

よって、整数部分 $a=5$ となります。

小数部分 $b = (3+2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$ となります。

最後に、$ab^2 + b^2 + 4ab + 4b$ の値を計算します。

これは、$b^2(a+1) + 4b(a+1)$ と変形できます。

さらに、$(a+1)(b^2 + 4b)$ と因数分解できます。

$a=5$ なので、$a+1 = 6$ となります。

$b=2\sqrt{2}-2$ を $b^2+4b$ に代入します。

$b^2 = (2\sqrt{2}-2)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2})(2) + 2^2 = 8 - 8\sqrt{2} + 4 = 12 - 8\sqrt{2}$

$4b = 4(2\sqrt{2}-2) = 8\sqrt{2} - 8$

$b^2 + 4b = (12 - 8\sqrt{2}) + (8\sqrt{2} - 8) = 4$

よって、$(a+1)(b^2 + 4b) = 6 \cdot 4 = 24$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 2\sqrt{2} - 2$

$ab^2 + b^2 + 4ab + 4b = 24$