次の3つの式を展開する問題です。 (1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$ (2) $(a+b+c)^2$ (3) $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$

1. 問題の内容

次の3つの式を展開する問題です。

(1) $(x-2y+1)(x-2y-2)$

(2) $(a+b+c)^2$

(3) $(x^2+x-1)(x^2-x+1)$

2. 解き方の手順

(1)

$x-2y = A$ と置換すると、

$(A+1)(A-2) = A^2 - A - 2$

ここで $A = x-2y$ を代入して、

$(x-2y)^2 - (x-2y) - 2 = x^2 - 4xy + 4y^2 - x + 2y - 2$

(2)

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

$= a(a+b+c) + b(a+b+c) + c(a+b+c)$

$= a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

または、

$(a+b+c)^2 = \{(a+b)+c\}^2 = (a+b)^2 + 2(a+b)c + c^2$

$= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2$

$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3)

$x^2+1 = A$ と置換すると、

$(A+x-2)(A-x) = (A+(x-2))(A-x)$

$(A+x-2)(A-x)= (x^2+x-1)(x^2-x+1) = (x^2+1+x-2)(x^2+1-x)$

$(x^2+x-1)(x^2-x+1)$

$= ((x^2+1)+x)((x^2+1)-x)$

$= (x^2+1)^2 - x^2$

$= (x^4+2x^2+1) - x^2$

$= x^4 + x^2 + 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 - 4xy + 4y^2 - x + 2y - 2$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $x^4 + x^2 + 1$