関数 $y = xe^{ax}$ が微分方程式 $y'' + 4y' + 4y = 0$ を満たすとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{ax}$ が微分方程式 $y'' + 4y' + 4y = 0$ を満たすとき、定数 $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = xe^{ax}$ を微分して、$y'$ と $y''$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(xe^{ax}) = e^{ax} + axe^{ax} = (1+ax)e^{ax}$

$y'' = \frac{d}{dx}((1+ax)e^{ax}) = ae^{ax} + a(1+ax)e^{ax} = (2a + a^2x)e^{ax}$

次に、求めた $y$, $y'$, $y''$ を微分方程式 $y'' + 4y' + 4y = 0$ に代入します。

$(2a + a^2x)e^{ax} + 4(1+ax)e^{ax} + 4xe^{ax} = 0$

$e^{ax}$ で割ると、（$e^{ax}$は常に0ではないので）

$2a + a^2x + 4 + 4ax + 4x = 0$

$(a^2 + 4a + 4)x + (2a + 4) = 0$

この式がすべての $x$ に対して成り立つためには、以下の2つの条件が必要です。

$a^2 + 4a + 4 = 0$

$2a + 4 = 0$

$a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2 = 0$ より、$a = -2$。

$2a + 4 = 0$ より、$2a = -4$, よって $a = -2$。

両方の条件を満たす $a$ の値は $a = -2$ です。

3. 最終的な答え

$a = -2$