Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがあり、$|OA| = 2$, $|AB| = 1$ を満たしている。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとする。辺OC上に点Mを、4点A, L, M, Nが同一平面上になるようにとる。 (1) $|OM|$を求めよ。 (2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$\cos{\theta}$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。 (3) 四角錐O-ALMNの体積を求めよ。

1. 問題の内容

Oを頂点とする正四角錐O-ABCDがあり、$|OA| = 2$, $|AB| = 1$ を満たしている。OB, ODの中点をそれぞれL, Nとする。辺OC上に点Mを、4点A, L, M, Nが同一平面上になるようにとる。

(1) $|OM|$を求めよ。

(2) 平面ABCDと平面ALMNのなす角$\theta$に対し、$\cos{\theta}$を求めよ。また、四角形ALMNの面積を求めよ。

(3) 四角錐O-ALMNの体積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

4点A, L, M, Nが同一平面上にあることから、

$\vec{OM} = s\vec{OA} + t\vec{OL} + u\vec{ON}$ (ただし、$s+t+u = 1$)

と表すことができる。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}, \vec{OD} = \vec{d}$とおくと、

$\vec{OL} = \frac{1}{2}\vec{b}, \vec{ON} = \frac{1}{2}\vec{d}$となる。

また、正四角錐O-ABCDであるから、

$\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{OD} - \vec{OA}$

$\vec{c} = \vec{b} + \vec{d} - \vec{a}$

点Mは辺OC上にあるから、

$\vec{OM} = k\vec{OC} = k(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a})$

$k(\vec{b} + \vec{d} - \vec{a}) = s\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b} + \frac{u}{2}\vec{d}$

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$は一次独立なので、

$-k = s, k = \frac{t}{2}, k = \frac{u}{2}$

したがって、$s = -k, t = 2k, u = 2k$

$s+t+u = -k + 2k + 2k = 3k = 1$

$k = \frac{1}{3}$

$\vec{OM} = \frac{1}{3}\vec{OC}$

$|OC|^2 = |OA|^2 + |AC|^2 = 2^2 + (\sqrt{2})^2 = 4+2=6$

$|OC| = \sqrt{6}$

$|OM| = \frac{1}{3}|OC| = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2)

平面ABCDの法線ベクトルは$\vec{OA}=\vec{a}$。

$\vec{AL} = \vec{OL} - \vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

$\vec{AN} = \vec{ON} - \vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a}$

$\vec{AL} \times \vec{AN} = (\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}) \times (\frac{1}{2}\vec{d} - \vec{a}) = \frac{1}{4}(\vec{b} \times \vec{d}) - \frac{1}{2}(\vec{b} \times \vec{a}) - \frac{1}{2}(\vec{a} \times \vec{d}) = \frac{1}{4}(\vec{b} \times \vec{d}) + \frac{1}{2}(\vec{a} \times \vec{b}) + \frac{1}{2}(\vec{d} \times \vec{a})$

$\vec{b} \times \vec{d} = 2\vec{a}$, $\vec{a} \times \vec{b}$, $\vec{d} \times \vec{a}$ は面積１の正方形の対角線に対応。

$\cos{\theta} = \frac{|\vec{OA} \cdot (\vec{AL} \times \vec{AN})|}{|\vec{OA}||\vec{AL} \times \vec{AN}|} = \frac{|\vec{a} \cdot (\frac{1}{4}(2\vec{a}) + \frac{1}{2}(\vec{a} \times \vec{b}) + \frac{1}{2}(\vec{d} \times \vec{a}))|}{|\vec{a}||\frac{1}{4}(2\vec{a}) + \frac{1}{2}(\vec{a} \times \vec{b}) + \frac{1}{2}(\vec{d} \times \vec{a})|} = \frac{\frac{1}{2}|\vec{a}|^2}{2\sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}} = \frac{\frac{1}{2}4}{2\sqrt{3/4}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ALMNは台形である。

AL = MN = $\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2} = \sqrt{5}/2$

AM = LN

面積＝$3/4$

(3)

四角錐O-ALMNの体積

3. 最終的な答え

(1) $|OM| = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(2) $\cos{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, 四角形ALMNの面積 = $\frac{3}{4}$

(3) 四角錐O-ALMNの体積