平行四辺形ABCDにおいて、点Pは対角線BD上の点である。このとき、三角形APDと面積が等しい三角形を答える。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、点Pは対角線BD上の点である。このとき、三角形APDと面積が等しい三角形を答える。

2. 解き方の手順

平行四辺形の性質を利用して、三角形の面積が等しくなる条件を考える。

* 平行四辺形ABCDにおいて、AD // BCである。

* 三角形APDと三角形BPDは、底辺をPDとみると、高さは点Aと点Bから直線BDに下ろした垂線の長さとなる。

* 三角形APDと三角形BPDの面積をそれぞれ$S_{APD}$、$S_{BPD}$とおくと、

$S_{APD} = \frac{1}{2} \times PD \times h_A$

$S_{BPD} = \frac{1}{2} \times PD \times h_B$

ここで、$h_A$, $h_B$はそれぞれA,Bから直線BDに下ろした垂線の長さである。

もし、$h_A = h_B$なら、$S_{APD} = S_{BPD}$である。しかし今回は$h_A \neq h_B$なので、$S_{APD} \neq S_{BPD}$である。

* 同様に、三角形APBと三角形CPBは、底辺をPBとみると、高さは点Aと点Cから直線BDに下ろした垂線の長さとなる。

* 三角形APBと三角形CPBの面積をそれぞれ$S_{APB}$、$S_{CPB}$とおくと、

$S_{APB} = \frac{1}{2} \times PB \times h_A'$

$S_{CPB} = \frac{1}{2} \times PB \times h_C'$

ここで、$h_A'$, $h_C'$はそれぞれA,Cから直線BDに下ろした垂線の長さである。

AD//BCより、点Aと点Cから直線BDへの垂線の長さは等しくない。

$h_A' \neq h_C'$であるため、$S_{APB} \neq S_{CPB}$である。

* 三角形APDと三角形BPCは、AD//BCより、$\triangle APD + \triangle ABP = \triangle BPC + \triangle ABP$ならば、面積は異なる。

したがって、$\triangle APD$の面積と等しい三角形を調べる。

$\triangle ABD$と$\triangle BCD$は、底辺をそれぞれADとBCとみなすと、平行四辺形なのでAD=BCであり、高さも等しいので、面積は等しい。

$S_{ABD} = S_{BCD}$。

また、$S_{ABD} = S_{APD} + S_{ABP}$

$S_{BCD} = S_{CPD} + S_{BPC}$

$S_{APD} + S_{ABP} = S_{CPD} + S_{BPC}$

もし、$S_{APD} = S_{BPC}$であるならば、$S_{ABP} = S_{CPD}$となる。

* 平行四辺形の対角線は互いに二等分するので、平行四辺形の中心をOとすると、BO = ODとなる。

底辺をBOとODとみなして、それぞれに点A, Cから垂線を下ろすと、AD//BCなので、高さは等しい。

したがって、$S_{ABO} = S_{CDO}$となる。

すると、$S_{ABD} = S_{BCD}$から、

$S_{APD} + S_{ABP} = S_{CPD} + S_{BPC}$

$S_{APB} = S_{CPD}$

$S_{ABD} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$

* ここで、平行四辺形の性質より、AD//BCである。

$AD \parallel BC$より、$△APD$と$△BPC$の面積を比較する。

線分$AD$と線分$BC$は平行なので、それぞれの線分を底辺とみなすと、高さが等しくなるとき、面積が等しくなる。

しかしながら、$AD$と$BC$の長さは等しいものの、点Pは対角線$BD$上にあるので、底辺に対する高さが異なる。

従って、$S_{APD} = S_{CPB}$となる。

3. 最終的な答え

三角形CPB