与えられた関数 $F(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin^2 x \, dx$, $I(t) = \int_0^t e^{-2x} \cos 2x \, dx$, $J(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin 2x \, dx$ について、以下の問いに答える。 (1) $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$y = e^{-2x} \sin^2 x$ の極値を求める。 (2) 以下の３つの等式を示す。 (a) $F(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2}J(t)$ (b) $I(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2t} \cos 2t - J(t)$ (c) $J(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t} \sin 2t + I(t)$ (3) $\lim_{t \to \infty} F(t)$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $F(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin^2 x \, dx$, $I(t) = \int_0^t e^{-2x} \cos 2x \, dx$, $J(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin 2x \, dx$ について、以下の問いに答える。

(1) $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲において、$y = e^{-2x} \sin^2 x$ の極値を求める。

(2) 以下の３つの等式を示す。

(a) $F(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2}J(t)$

(b) $I(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2t} \cos 2t - J(t)$

(c) $J(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t} \sin 2t + I(t)$

(3) $\lim_{t \to \infty} F(t)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{-2x} \sin^2 x$ の導関数を計算し、極値を求める。

$y' = -2e^{-2x} \sin^2 x + e^{-2x} (2 \sin x \cos x) = -2e^{-2x} \sin^2 x + e^{-2x} \sin 2x = e^{-2x} (\sin 2x - 2 \sin^2 x) = e^{-2x} (2 \sin x \cos x - 2 \sin^2 x) = 2 e^{-2x} \sin x (\cos x - \sin x)$

$y' = 0$ となるのは、$\sin x = 0$ または $\cos x = \sin x$ のとき。

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で、$\sin x = 0$ となるのは $x = 0$ のとき。

$\cos x = \sin x$ となるのは、$\tan x = 1$ のときなので、$x = \frac{\pi}{4}$ のとき。

$x=0$のとき、$y=0$。$x=\frac{\pi}{4}$のとき、$y = e^{-\pi/2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{-\pi/2}$.

$x < 0$ で $y' < 0$、$0 < x < \pi/4$ で $y' > 0$、$\pi/4 < x$ で $y' < 0$ なので、$x = 0$ で極小値 $0$、$x = \pi/4$ で極大値 $\frac{1}{2} e^{-\pi/2}$ をとる。

(2) (a) $F(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin^2 x \, dx = \int_0^t e^{-2x} \frac{1-\cos 2x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^t e^{-2x} dx - \frac{1}{2} \int_0^t e^{-2x} \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} [-\frac{1}{2} e^{-2x}]_0^t - \frac{1}{2} I(t) = -\frac{1}{4}e^{-2t} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}I(t)$. これは与えられた式と違うので、部分積分を使う。

$F(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin^2 x \, dx = [e^{-2x} (-\frac{1}{2} \sin^2 x)]_0^t + \int_0^t 2 e^{-2x} (-\frac{1}{2} \sin^2 x) dx + \frac{1}{2} \int_0^t e^{-2x} \sin 2x dx$.

$F(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \int_0^t e^{-2x} \sin 2x dx = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} J(t)$.

(b) $I(t) = \int_0^t e^{-2x} \cos 2x \, dx = [\frac{e^{-2x}}{-2} \cos 2x]_0^t - \int_0^t \frac{e^{-2x}}{-2} (-2 \sin 2x) dx = -\frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - (-\frac{1}{2}) - \int_0^t e^{-2x} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - J(t)$.

(c) $J(t) = \int_0^t e^{-2x} \sin 2x \, dx = [\frac{e^{-2x}}{-2} \sin 2x]_0^t - \int_0^t \frac{e^{-2x}}{-2} (2 \cos 2x) dx = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + \int_0^t e^{-2x} \cos 2x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + I(t)$.

(3) $I(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - J(t)$, $J(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + I(t)$ より、

$I(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t - (-\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + I(t)) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t + \frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t - I(t)$.

$2I(t) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{-2t} \cos 2t + \frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t$, よって $I(t) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-2t} \cos 2t + \frac{1}{4} e^{-2t} \sin 2t$.

$J(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin 2t + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-2t} \cos 2t + \frac{1}{4} e^{-2t} \sin 2t = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-2t} \cos 2t - \frac{1}{4} e^{-2t} \sin 2t$.

$F(t) = -\frac{1}{2}e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} J(t) = -\frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-2t} \cos 2t - \frac{1}{4} e^{-2t} \sin 2t) = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} e^{-2t} \sin^2 t - \frac{1}{8} e^{-2t} \cos 2t - \frac{1}{8} e^{-2t} \sin 2t$.

$t \to \infty$ のとき、$e^{-2t} \to 0$ なので、$\lim_{t \to \infty} F(t) = \frac{1}{8}$.

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$ で極小値 $0$、$x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $\frac{1}{2} e^{-\pi/2}$

(2) (a), (b), (c) 上記参照

(3) $\lim_{t \to \infty} F(t) = \frac{1}{8}$