正の数 $a, b$ について、数列 $6, a, b$ が等差数列であり、数列 $a, b, 16$ が等比数列である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

## 問題1

1. 問題の内容

正の数 $a, b$ について、数列 $6, a, b$ が等差数列であり、数列 $a, b, 16$ が等比数列である。このとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $6, a, b$ が等差数列であることから、

$2a = 6 + b$

が成り立つ。

数列 $a, b, 16$ が等比数列であることから、

$b^2 = 16a$

が成り立つ。

上記2式から $a$ と $b$ の値を求める。

$2a = 6 + b$ より、$a = \frac{6+b}{2}$。これを $b^2 = 16a$ に代入すると、

$b^2 = 16(\frac{6+b}{2})$

$b^2 = 8(6+b)$

$b^2 = 48 + 8b$

$b^2 - 8b - 48 = 0$

$(b-12)(b+4) = 0$

$b = 12$ または $b = -4$

$a, b$ は正の数なので、$b = 12$。

$a = \frac{6+12}{2} = \frac{18}{2} = 9$

3. 最終的な答え

$a = 9$

$b = 12$

## 問題2

1. 問題の内容

等比数列 $-1, -3, -9, \dots$ の初項から第6項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

この等比数列の初項は $a = -1$、公比は $r = 3$ である。

等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

で与えられる。

$n=6$ を代入すると、

$S_6 = \frac{-1(1-3^6)}{1-3} = \frac{-1(1-729)}{-2} = \frac{-1(-728)}{-2} = \frac{728}{-2} = -364$

3. 最終的な答え

-364

## 問題3

1. 問題の内容

初項が2、公比が-3の等比数列の初項から第n項までの和が122であるとき、nの値を求めよ。

2. 解き方の手順

初項 $a = 2$、公比 $r = -3$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

で与えられる。

$S_n = 122$ を代入すると、

$122 = \frac{2(1-(-3)^n)}{1-(-3)}$

$122 = \frac{2(1-(-3)^n)}{4}$

$122 \times 4 = 2(1-(-3)^n)$

$488 = 2(1-(-3)^n)$

$244 = 1-(-3)^n$

$243 = -(-3)^n$

$-243 = (-3)^n$

$(-3)^5 = -243$

よって、$n = 5$

3. 最終的な答え

5