次の関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求めます。 (1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$ (2) $y = xe^{-x}$ (3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$) (4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

1. 問題の内容

次の関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求めます。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

(2) $y = xe^{-x}$

(3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$)

(4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

2. 解き方の手順

関数の凹凸を調べるには、2階微分を計算し、その符号を調べます。2階微分が正であれば下に凸、負であれば上に凸です。変曲点は、2階微分の符号が変わる点です。つまり、$y'' = 0$ となる点を探し、その前後で $y''$ の符号が変わることを確認します。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

まず、1階微分を計算します。

$y' = 4x^3 + 6x^2$

次に、2階微分を計算します。

$y'' = 12x^2 + 12x = 12x(x+1)$

$y'' = 0$ となる $x$ は $x = 0$ と $x = -1$ です。

$x < -1$ のとき、$y'' > 0$ （下に凸）

$-1 < x < 0$ のとき、$y'' < 0$ （上に凸）

$x > 0$ のとき、$y'' > 0$ （下に凸）

よって、$x = -1$ と $x = 0$ で凹凸が変わるので、変曲点です。

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^4 + 2(-1)^3 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$

$x = 0$ のとき、$y = 0^4 + 2(0)^3 + 1 = 1$

(2) $y = xe^{-x}$

まず、1階微分を計算します。

$y' = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$

次に、2階微分を計算します。

$y'' = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = e^{-x}(x-2)$

$y'' = 0$ となる $x$ は $x = 2$ です。

$x < 2$ のとき、$y'' < 0$ （上に凸）

$x > 2$ のとき、$y'' > 0$ （下に凸）

よって、$x = 2$ で凹凸が変わるので、変曲点です。

$x = 2$ のとき、$y = 2e^{-2}$

(3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$)

まず、1階微分を計算します。

$y' = 1 + \sin x$

次に、2階微分を計算します。

$y'' = \cos x$

$y'' = 0$ となる $x$ は、$0 < x < \pi$ の範囲で $x = \frac{\pi}{2}$ です。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$y'' > 0$ （下に凸）

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$y'' < 0$ （上に凸）

よって、$x = \frac{\pi}{2}$ で凹凸が変わるので、変曲点です。

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = \frac{\pi}{2} - \cos(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

(4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

まず、1階微分を計算します。

$y' = -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4$

次に、2階微分を計算します。

$y'' = -12x^2 + 24x - 12 = -12(x^2 - 2x + 1) = -12(x - 1)^2$

$y'' = 0$ となる $x$ は $x = 1$ です。

$x < 1$ のとき、$y'' < 0$ （上に凸）

$x > 1$ のとき、$y'' < 0$ （上に凸）

$x = 1$ の前後で $y''$ の符号が変わらないので、変曲点ではありません。全区間上で上に凸です。

3. 最終的な答え

(1) 凹凸：$x < -1$ で下に凸、$-1 < x < 0$ で上に凸、$x > 0$ で下に凸

変曲点：$(-1, 0)$, $(0, 1)$

(2) 凹凸：$x < 2$ で上に凸、$x > 2$ で下に凸

変曲点：$(2, 2e^{-2})$

(3) 凹凸：$0 < x < \frac{\pi}{2}$ で下に凸、$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ で上に凸

変曲点：$(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

(4) 凹凸：全区間上で上に凸

変曲点：なし