次の方程式と不等式を解きます。 (1) $|x-1| = 2x$ (2) $|2x-4| \le x$ (3) $|x+1| + |x-3| = 6$ (4) $|2x+1| \le |2x-1| + x$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

次の方程式と不等式を解きます。

(1) $|x-1| = 2x$

(2) $|2x-4| \le x$

(3) $|x+1| + |x-3| = 6$

(4) $|2x+1| \le |2x-1| + x$

2. 解き方の手順

(1) $|x-1| = 2x$

絶対値の性質より、$x-1 = 2x$ または $x-1 = -2x$ となります。

$x-1 = 2x$ の場合、$x = -1$ となります。しかし、$2x$は負になることはないため、$x=-1$を元の式に代入すると$|-1-1| = |-2| = 2$となり、$2x = -2$であるため、$x=-1$は解ではありません。

$x-1 = -2x$ の場合、$3x = 1$となり、$x = \frac{1}{3}$となります。$x=\frac{1}{3}$を元の式に代入すると$|\frac{1}{3} - 1| = |-\frac{2}{3}| = \frac{2}{3}$となり、$2x = \frac{2}{3}$であるため、$x=\frac{1}{3}$は解です。

また、$2x \ge 0$ である必要があるので、$x \ge 0$ を満たす必要があります。

(2) $|2x-4| \le x$

$-x \le 2x-4 \le x$ を解きます。

$-x \le 2x-4$ より、$4 \le 3x$、すなわち、$x \ge \frac{4}{3}$

$2x-4 \le x$ より、$x \le 4$

したがって、$\frac{4}{3} \le x \le 4$

さらに、$x \ge 0$が必要です。

$\frac{4}{3} \le x \le 4$ は $x \ge 0$ を満たしています。

(3) $|x+1| + |x-3| = 6$

場合分けを行います。

(i) $x < -1$ のとき、$-(x+1) - (x-3) = 6$。$-x-1-x+3=6$ より $-2x+2=6$ なので、 $-2x=4$、$x=-2$。これは $x<-1$ を満たす。

(ii) $-1 \le x < 3$ のとき、$(x+1) - (x-3) = 6$。$x+1-x+3 = 4 = 6$ となり、この範囲に解はない。

(iii) $x \ge 3$ のとき、$(x+1) + (x-3) = 6$。$2x-2=6$ より、$2x=8$、$x=4$。これは $x \ge 3$ を満たす。

(4) $|2x+1| \le |2x-1| + x$

場合分けを行います。

(i) $x < -\frac{1}{2}$ のとき、$-(2x+1) \le -(2x-1) + x$。$-2x-1 \le -2x+1+x$ より、$-1 \le 1+x$ なので、$x \ge -2$。したがって、$-2 \le x < -\frac{1}{2}$.

(ii) $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$ のとき、$2x+1 \le -(2x-1) + x$。$2x+1 \le -2x+1+x$ より、$2x+1 \le -x+1$ なので、$3x \le 0$、$x \le 0$。したがって、$-\frac{1}{2} \le x \le 0$.

(iii) $x \ge \frac{1}{2}$ のとき、$2x+1 \le 2x-1+x$。$2x+1 \le 3x-1$ より、$2 \le x$。したがって、$x \ge 2$.

(i), (ii), (iii) を合わせると、$-2 \le x \le 0$ と $x \ge 2$となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1}{3}$

(2) $\frac{4}{3} \le x \le 4$

(3) $x = -2, 4$

(4) $-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$