$k$を定数とする。次の3直線について、以下の問いに答えよ。 直線①: $x + 2y + 5 = 0$ 直線②: $3x - 2y + 7 = 0$ 直線③: $kx + (k+1)y + 3k - 4 = 0$ (1) 直線①と直線②の交点Aの座標を求める。 (2) 直線③が$k$の値にかかわらず通る点Bの座標を求める。 (3) 3直線①, ②, ③が三角形をつくらないときの$k$の値を求める。 (4) 直線①と直線③が直交するときの$k$の値を求める。さらに、直線①に関して点Bと対称な点Cの座標を求める。

1. 問題の内容

$k$を定数とする。次の3直線について、以下の問いに答えよ。

直線①: $x + 2y + 5 = 0$

直線②: $3x - 2y + 7 = 0$

直線③: $kx + (k+1)y + 3k - 4 = 0$

(1) 直線①と直線②の交点Aの座標を求める。

(2) 直線③が$k$の値にかかわらず通る点Bの座標を求める。

(3) 3直線①, ②, ③が三角形をつくらないときの$k$の値を求める。

(4) 直線①と直線③が直交するときの$k$の値を求める。さらに、直線①に関して点Bと対称な点Cの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線①と直線②の交点Aの座標を求める。

連立方程式

$x + 2y + 5 = 0$

$3x - 2y + 7 = 0$

を解く。2式を足すと、$4x + 12 = 0$ より、$x = -3$。これを最初の式に代入すると、$-3 + 2y + 5 = 0$ より、$2y = -2$、$y = -1$。

したがって、交点Aの座標は $(-3, -1)$。

(2) 直線③が$k$の値にかかわらず通る点Bの座標を求める。

直線③の式を$k$について整理すると、

$kx + (k+1)y + 3k - 4 = k(x + y + 3) + y - 4 = 0$

これが任意の$k$について成り立つためには、

$x + y + 3 = 0$

$y - 4 = 0$

が同時に成り立つ必要がある。$y = 4$を最初の式に代入すると、$x + 4 + 3 = 0$ より、$x = -7$。

したがって、点Bの座標は $(-7, 4)$。

(3) 3直線①, ②, ③が三角形をつくらないときの$k$の値を求める。

3直線が三角形を作らないのは、以下の3つの場合がある。

a. 3直線が1点で交わる。

b. 少なくとも2直線が平行である。

c. 3直線が全て平行である。

直線①の傾きは $-\frac{1}{2}$、直線②の傾きは $\frac{3}{2}$、直線③の傾きは $-\frac{k}{k+1}$ (ただし、$k \neq -1$)。

a. 3直線が1点で交わる場合、直線③が点A$(-3, -1)$を通る。

$-3k - (k+1) + 3k - 4 = 0$

$-k - 5 = 0$

$k = -5$

b. 直線①と直線③が平行な場合、$-\frac{1}{2} = -\frac{k}{k+1}$ より、$k+1 = 2k$、$k = 1$。

c. 直線②と直線③が平行な場合、$\frac{3}{2} = -\frac{k}{k+1}$ より、$3(k+1) = -2k$、$3k + 3 = -2k$、$5k = -3$、$k = -\frac{3}{5}$。

d. 3直線が全て平行になることはない。

また、$k = -1$のとき直線③は$0x + 0y - 7 = 0$となり存在しない。

したがって、$k = 1, -5, -\frac{3}{5}$。

(4) 直線①と直線③が直交するときの$k$の値を求める。

2直線の傾きの積が-1であれば直交する。

$(-\frac{1}{2})(-\frac{k}{k+1}) = -1$

$\frac{k}{2(k+1)} = -1$

$k = -2(k+1)$

$k = -2k - 2$

$3k = -2$

$k = -\frac{2}{3}$

直線①に関して点B$(-7, 4)$と対称な点Cの座標を求める。

点Cの座標を$(x, y)$とする。線分BCの中点は$(\frac{x-7}{2}, \frac{y+4}{2})$であり、これが直線①上にあるから、

$\frac{x-7}{2} + 2(\frac{y+4}{2}) + 5 = 0$

$x - 7 + 2y + 8 + 10 = 0$

$x + 2y + 11 = 0$

また、直線BCの傾きは$\frac{y-4}{x+7}$であり、これが直線①の傾き$-\frac{1}{2}$と直交するから、

$\frac{y-4}{x+7} \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$

$y - 4 = 2(x+7)$

$y - 4 = 2x + 14$

$2x - y + 18 = 0$

連立方程式

$x + 2y + 11 = 0$

$2x - y + 18 = 0$

を解く。2番目の式に2をかけると、$4x - 2y + 36 = 0$。

これと最初の式を足すと、$5x + 47 = 0$ より、$x = -\frac{47}{5}$。

$y = 2x + 18 = 2(-\frac{47}{5}) + 18 = -\frac{94}{5} + \frac{90}{5} = -\frac{4}{5}$。

したがって、点Cの座標は $(-\frac{47}{5}, -\frac{4}{5})$。

3. 最終的な答え

(1) A$(-3, -1)$

(2) B$(-7, 4)$

(3) $k = 1, -5, -\frac{3}{5}$

(4) $k = -\frac{2}{3}$, C$(-\frac{47}{5}, -\frac{4}{5})$