与えられた式 $x^2 + 20y - 5xy - 16$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 20y - 5xy - 16$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理し、因数分解しやすい形に変形する。

$x^2 - 5xy + 20y - 16$

次に、$x$についての二次式と見て、平方完成を試みる。

$x^2 - 5xy + (25/4)y^2 - (25/4)y^2 + 20y - 16$

$(x - (5/2)y)^2 - (25/4)y^2 + 20y - 16$

ここで、第2項以降を整理すると、

$-(25/4)y^2 + 20y - 16 = -(25/4)y^2 + (80/4)y - (64/4) = -(1/4)(25y^2 - 80y + 64)$

$-(1/4)(5y - 8)^2$

したがって、

$(x - (5/2)y)^2 - (1/4)(5y - 8)^2$

$=\left(x - \frac{5}{2}y\right)^2 - \left(\frac{5y - 8}{2}\right)^2$

$=\left(x - \frac{5}{2}y + \frac{5y - 8}{2}\right)\left(x - \frac{5}{2}y - \frac{5y - 8}{2}\right)$

$=\left(x - \frac{5}{2}y + \frac{5}{2}y - 4\right)\left(x - \frac{5}{2}y - \frac{5}{2}y + 4\right)$

$=(x - 4)(x - 5y + 4)$

3. 最終的な答え

$(x - 4)(x - 5y + 4)$