大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいサイコロの出目を $X$ 、小さいサイコロの出目を $Y$ とします。$E(X)$, $E(Y)$, $E(X-Y)$, $V(X)$, $V(2Y+5)$ をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げます。大きいサイコロの出目を $X$ 、小さいサイコロの出目を $Y$ とします。$E(X)$, $E(Y)$, $E(X-Y)$, $V(X)$, $V(2Y+5)$ をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X$ と $Y$ はそれぞれ独立な確率変数であり、1から6までの整数を等確率でとります。

- $E(X)$ と $E(Y)$ の計算:

$X$ と $Y$ の期待値は同じで、

$E(X) = E(Y) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

- $E(X-Y)$ の計算:

期待値の線形性より、$E(X-Y) = E(X) - E(Y) = 3.5 - 3.5 = 0$

- $V(X)$ の計算:

分散の計算には、$E(X^2)$ が必要です。

$E(X^2) = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$

$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182}{12} - \frac{147}{12} = \frac{35}{12}$

- $V(2Y+5)$ の計算:

$V(aY+b) = a^2 V(Y)$ という性質を利用します。

$V(2Y+5) = 2^2 V(Y) = 4 V(Y)$

$V(Y)$ は $V(X)$ と同じなので、$V(Y) = \frac{35}{12}$

したがって、$V(2Y+5) = 4 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{3}$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{7}{2}$

$E(Y) = \frac{7}{2}$

$E(X-Y) = 0$

$V(X) = \frac{35}{12}$

$V(2Y+5) = \frac{35}{3}$