確率変数 $X$ の範囲が $0 \le x \le 3$ で、その確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{9}x^2$ であるとき、以下の確率を求めます。 * $P(0 \le X \le 3)$ * $P(X = 3)$ * $P(X = 0)$ * $P(1 \le X \le 2)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の範囲が $0 \le x \le 3$ で、その確率密度関数が $f(x) = \frac{1}{9}x^2$ であるとき、以下の確率を求めます。

* $P(0 \le X \le 3)$

* $P(X = 3)$

* $P(X = 0)$

* $P(1 \le X \le 2)$

2. 解き方の手順

確率密度関数 $f(x)$ が与えられたとき、$a \le X \le b$ の範囲の確率 $P(a \le X \le b)$ は、 $f(x)$ を $a$ から $b$ まで積分することで求められます。

$P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x) dx$

* $P(0 \le X \le 3)$:

$P(0 \le X \le 3) = \int_0^3 \frac{1}{9}x^2 dx = \frac{1}{9} \int_0^3 x^2 dx = \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^3 = \frac{1}{9} \left( \frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{3}(0^3) \right) = \frac{1}{9} \cdot \frac{27}{3} = \frac{1}{9} \cdot 9 = 1$

* $P(X = 3)$:

確率密度関数が与えられている場合、特定の点における確率は0になります。したがって、$P(X = 3) = 0$。同様に、$P(X=0)=0$となります。

* $P(1 \le X \le 2)$:

$P(1 \le X \le 2) = \int_1^2 \frac{1}{9}x^2 dx = \frac{1}{9} \int_1^2 x^2 dx = \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_1^2 = \frac{1}{9} \left( \frac{1}{3}(2^3) - \frac{1}{3}(1^3) \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{9} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{27}$

3. 最終的な答え

* $P(0 \le X \le 3) = 1$

* $P(X = 3) = 0$

* $P(X = 0) = 0$

* $P(1 \le X \le 2) = \frac{7}{27}$