ある高校の男子生徒の身長の分布が、平均172cm、標準偏差8cmの正規分布に従うとする。身長が170cm以上180cm以下の男子生徒が何%いるかを求める問題です。確率変数$X$が正規分布$N(172, 8^2)$に従うとき、$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$として標準化し、$Z$の分布が標準正規分布$N(0,1)$に従うことを利用します。

1. 問題の内容

ある高校の男子生徒の身長の分布が、平均172cm、標準偏差8cmの正規分布に従うとする。身長が170cm以上180cm以下の男子生徒が何%いるかを求める問題です。確率変数$X$が正規分布$N(172, 8^2)$に従うとき、$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$として標準化し、$Z$の分布が標準正規分布$N(0,1)$に従うことを利用します。

2. 解き方の手順

まず、$Z$を求めるための式を完成させます。

$Z = \frac{X - 172}{8}$

次に、求めたい割合を確率の形で表現します。

$P(170 \le X \le 180)$

これを標準化します。

$X = 170$ のとき $Z = \frac{170 - 172}{8} = \frac{-2}{8} = -0.25$

$X = 180$ のとき $Z = \frac{180 - 172}{8} = \frac{8}{8} = 1$

したがって、$P(170 \le X \le 180) = P(-0.25 \le Z \le 1)$

ここで、$P(-0.25 \le Z \le 1)$を、$P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 0.25)$と分解できます。

標準正規分布表から、$P(0 \le Z \le 1) = 0.3413$

$P(0 \le Z \le 0.25) = 0.0987$

したがって、$P(-0.25 \le Z \le 1) = 0.3413 + 0.0987 = 0.44$

パーセントで表すと、$0.44 \times 100 = 44\%$

3. 最終的な答え

身長が170cm以上180cm以下の男子生徒は44%です。