ある工場でこれまで20%であった不良率が、新製法によって下がったかどうかを、有意水準5%で片側検定する問題です。標本として100個の製品を調べたところ、不良品は14個でした。帰無仮説、Xの分布、Zの式、Zの値、結論を求めます。

1. 問題の内容

ある工場でこれまで20%であった不良率が、新製法によって下がったかどうかを、有意水準5%で片側検定する問題です。標本として100個の製品を調べたところ、不良品は14個でした。帰無仮説、Xの分布、Zの式、Zの値、結論を求めます。

2. 解き方の手順

* 帰無仮説は「新製法による不良率 $p$ は20%($0.2$)である」なので、$p=0.2$となります。

* $X$は二項分布 $B(100, 0.2)$に従います。

* $X$は正規分布 $N(np, np(1-p))$ で近似できます。ここで、$n = 100$, $p = 0.2$なので、$np = 100 \times 0.2 = 20$、$np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$となります。したがって、$X$は$N(20, 16)$で近似できます。

* $Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}$ で、$X=14$のとき、$Z = \frac{14 - 20}{\sqrt{16}} = \frac{-6}{4} = -1.5$となります。

* 有意水準5%の棄却域は$Z \le -1.64$なので、$Z=-1.5$は棄却域に入りません。よって、帰無仮説は棄却されません。

* 帰無仮説が棄却されないので、新製法によって不良率が下がったとは判断できません。

3. 最終的な答え

帰無仮説: $p=0.2$

Xの分布: 二項分布 $B(100, 0.2)$

Xの分布の正規分布近似: $N(20, 16)$

Z: $Z = \frac{X-20}{\sqrt{16}}$

X=14のときZ: $-1.5$

帰無仮説は棄却 できない ので、

新製法により不良率は下がったと判断 できない 。