複素数 $z = 3 - 2i$ が与えられたとき、以下の角度だけ原点を中心として回転させた点を表す複素数を求めます。 (1) $\frac{\pi}{4}$ (2) $-\frac{\pi}{3}$ (3) $\frac{\pi}{2}$ (4) $\frac{5}{6}\pi$

1. 問題の内容

複素数 $z = 3 - 2i$ が与えられたとき、以下の角度だけ原点を中心として回転させた点を表す複素数を求めます。

(1) $\frac{\pi}{4}$

(2) $-\frac{\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{2}$

(4) $\frac{5}{6}\pi$

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を角度 $\theta$ だけ原点を中心として回転させる操作は、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ をかけることで実現できます。したがって、それぞれの角度について、$\cos\theta + i\sin\theta$ を計算し、$z = 3 - 2i$ にかけます。

(1) $\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき：

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$e^{i\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

$(3 - 2i)(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}(3 - 2i)(1 + i) = \frac{\sqrt{2}}{2}(3 + 3i - 2i - 2i^2) = \frac{\sqrt{2}}{2}(5 + i) = \frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\theta = -\frac{\pi}{3}$ のとき：

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$、$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$e^{-i\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$(3 - 2i)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2}(3 - 2i)(1 - i\sqrt{3}) = \frac{1}{2}(3 - 3i\sqrt{3} - 2i - 2\sqrt{3}) = \frac{1}{2}(3 - 2\sqrt{3} - i(3\sqrt{3} + 2)) = \frac{3 - 2\sqrt{3}}{2} - i\frac{3\sqrt{3} + 2}{2}$

(3) $\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき：

$\cos\frac{\pi}{2} = 0$、$\sin\frac{\pi}{2} = 1$

$e^{i\frac{\pi}{2}} = i$

$(3 - 2i)(i) = 3i - 2i^2 = 2 + 3i$

(4) $\theta = \frac{5}{6}\pi$ のとき：

$\cos(\frac{5}{6}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin(\frac{5}{6}\pi) = \frac{1}{2}$

$e^{i\frac{5}{6}\pi} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$

$(3 - 2i)(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}(3 - 2i)(-\sqrt{3} + i) = \frac{1}{2}(-3\sqrt{3} + 3i + 2i\sqrt{3} - 2i^2) = \frac{1}{2}(-3\sqrt{3} + 2 + i(3 + 2\sqrt{3})) = \frac{2 - 3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3 + 2\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{3 - 2\sqrt{3}}{2} - i\frac{3\sqrt{3} + 2}{2}$

(3) $2 + 3i$

(4) $\frac{2 - 3\sqrt{3}}{2} + i\frac{3 + 2\sqrt{3}}{2}$