与えられた式 $2(x+y)^2 - 7(x+y) - 15$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $2(x+y)^2 - 7(x+y) - 15$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x+y = A$ と置換します。すると、与えられた式は

$2A^2 - 7A - 15$

となります。

次に、この2次式を因数分解します。

$2A^2 - 7A - 15 = (2A + a)(A + b)$ とおくと、

$2A^2 + (2b+a)A + ab = 2A^2 - 7A - 15$

より、

$2b + a = -7$

$ab = -15$

$a = -7 - 2b$ を $ab = -15$ に代入すると、

$(-7 - 2b)b = -15$

$-7b - 2b^2 = -15$

$2b^2 + 7b - 15 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(2b-3)(b+5) = 0$

したがって、$b = \frac{3}{2}$ または $b = -5$

$b = \frac{3}{2}$ のとき、 $a = -7 - 2 \cdot \frac{3}{2} = -7 - 3 = -10$。

しかし、この場合 $ab = \frac{3}{2}(-10) = -15$ となり条件を満たします。

$b = -5$ のとき、$a = -7 - 2(-5) = -7 + 10 = 3$。

この場合 $ab = -5 \cdot 3 = -15$ となり条件を満たします。

ここでは、$b=-5$と$a=3$を採用して、$2A^2 - 7A - 15 = (2A + 3)(A - 5)$ となります。

最後に、$A = x+y$ を代入します。

$(2(x+y) + 3)((x+y) - 5) = (2x + 2y + 3)(x + y - 5)$

3. 最終的な答え

$(2x+2y+3)(x+y-5)$