級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ は収束するかどうかを判定します。

## 問題3-1

1. **問題の内容**

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ は収束するかどうかを判定します。

2. **解き方の手順**

この級数が収束するかどうかを調べるために、比較判定法を用いることができます。

$n^2 + n + 1 > n^2$ なので、

$\frac{1}{n^2 + n + 1} < \frac{1}{n^2}$ が成り立ちます。

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は、$p$-級数であり、$p=2 > 1$ なので収束します。

よって、比較判定法により、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ も収束します。

3. **最終的な答え**

収束する

## 問題3-2

1. **問題の内容**

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n} \right)^n$ を求めます。

2. **解き方の手順**

まず、式を整理します。

$\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n} = \frac{(n+1)^2}{n(n-1)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n} = 1 + \frac{3n + 1}{n^2 - n} = 1 + \frac{3 + \frac{1}{n}}{n - 1}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 - n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{3n + 1}{n^2 - n} \right)^n$

$= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{3n}{n^2} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{n} \right)^n = e^3$

3. **最終的な答え**

$e^3$

## 問題3-3

1. **問題の内容**

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束するかどうかを判定します。

2. **解き方の手順**

この級数が収束するかどうかを調べるために、比判定法を用いることができます。

$a_n = \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ とします。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3}{3^{n+1} + 2^{n+1}} \cdot \frac{3^n + 2^n}{n^3} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 \cdot \frac{3^n + 2^n}{3^{n+1} + 2^{n+1}}$

$= \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 \cdot \frac{1 + (\frac{2}{3})^n}{3 + 2 (\frac{2}{3})^n}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 \cdot \frac{1 + (\frac{2}{3})^n}{3 + 2 (\frac{2}{3})^n} = 1^3 \cdot \frac{1 + 0}{3 + 0} = \frac{1}{3}$

比判定法により、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1$ なので、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束します。

3. **最終的な答え**

収束する