与えられた問題は、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この無限級数は、バーゼル問題として知られています。バーゼル問題は、レオンハルト・オイラーによって解決されました。オイラーは、正弦関数の無限積表示とマクローリン展開を用いることでこの問題を解きました。

正弦関数のマクローリン展開は次のようになります。

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

$\sin(x) / x = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$

$\sin(x)$ の零点は $n\pi$ ($n$ は整数) であることから、$\sin(x)/x$ の零点は $x = \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, \cdots$ となります。

したがって、$\sin(x)/x$ は次のように無限積で表すことができます。

$\frac{\sin(x)}{x} = (1 - \frac{x}{\pi})(1 + \frac{x}{\pi})(1 - \frac{x}{2\pi})(1 + \frac{x}{2\pi})(1 - \frac{x}{3\pi})(1 + \frac{x}{3\pi})\cdots$

$\frac{\sin(x)}{x} = (1 - \frac{x^2}{\pi^2})(1 - \frac{x^2}{4\pi^2})(1 - \frac{x^2}{9\pi^2})\cdots$

この無限積を展開すると、$x^2$ の係数は $-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \frac{1}{9\pi^2} - \cdots = -\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ となります。

一方、$\sin(x)/x$ のマクローリン展開における $x^2$ の係数は $-\frac{1}{3!} = -\frac{1}{6}$ です。

したがって、

$-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = -\frac{1}{6}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$