問題は以下の3つです。 問題3-1：級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ は収束するか？ 問題3-2：極限 $\lim_{m \to \infty} \left( \frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m} \right)^m$ を求めよ。 問題3-3：級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束するか？

1. 問題の内容

問題は以下の3つです。

問題3-1：級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ は収束するか？

問題3-2：極限 $\lim_{m \to \infty} \left( \frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m} \right)^m$ を求めよ。

問題3-3：級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束するか？

2. 解き方の手順

問題3-1：

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ の収束性を調べます。

$\frac{1}{n^2 + n + 1}$ と $\frac{1}{n^2}$ を比較します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は $p=2 > 1$ なので収束します（p-級数）。

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2 + n + 1}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} = 1 > 0$

したがって、比較判定法により、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ も収束します。

問題3-2：

極限 $\lim_{m \to \infty} \left( \frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m} \right)^m$ を求めます。

$\lim_{m \to \infty} \left( \frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m} \right)^m = \lim_{m \to \infty} \left( \frac{(m+1)^2}{m(m-1)} \right)^m = \lim_{m \to \infty} \left( \frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m} \right)^m$

$\lim_{m \to \infty} \left( 1 + \frac{3m+1}{m^2-m} \right)^m = \lim_{m \to \infty} \left( 1 + \frac{3m}{m^2} \right)^m = \lim_{m \to \infty} \left( 1 + \frac{3}{m} \right)^m = e^3$

問題3-3：

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ の収束性を調べます。

比判定法を使います。

$a_n = \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ とおくと、

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1} + 2^{n+1}}}{\frac{n^3}{3^n + 2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{3^n + 2^n}{3^{n+1} + 2^{n+1}}$

$= \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 \cdot \frac{3^n (1 + (2/3)^n)}{3^{n+1} (1 + (2/3)^{n+1} \cdot (1/3)^{-1})} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1 + (2/3)^n}{1 + \frac{2}{3}(2/3)^n} = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{3} < 1$

したがって、比判定法により、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束します。

3. 最終的な答え

問題3-1：収束する

問題3-2：$e^3$

問題3-3：収束する