3つの問題があります。 * 問題 3-1: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ は収束するかどうか。 * 問題 3-2: 極限 $\lim_{m \to \infty} \left(\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m}\right)^m$ を求めよ。 * 問題 3-3: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束するかどうか。

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

* 問題 3-1: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ は収束するかどうか。

* 問題 3-2: 極限 $\lim_{m \to \infty} \left(\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m}\right)^m$ を求めよ。

* 問題 3-3: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束するかどうか。

2. 解き方の手順

* 問題 3-1: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ の収束判定

* $\frac{1}{n^2 + n + 1} < \frac{1}{n^2}$ であることを利用します。

* $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ は $p$-級数 ($p = 2 > 1$) であり、収束します。

* したがって、比較判定法により、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1}$ も収束します。

* 問題 3-2: 極限 $\lim_{m \to \infty} \left(\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m}\right)^m$ の計算

* $\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m} = \frac{(m+1)^2}{m(m-1)} = \frac{m^2+2m+1}{m^2-m}$

* $\left(\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m}\right)^m = \left(\frac{m^2 - m + 3m + 1}{m^2 - m}\right)^m = \left(1 + \frac{3m + 1}{m^2 - m}\right)^m$

* $\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{3m + 1}{m^2 - m}\right)^m = \lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{3 + \frac{1}{m}}{m - 1}\right)^m$

* $\lim_{m \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{m}}{m - 1} m = \lim_{m \to \infty} \frac{3m + \frac{1}{m} m}{m-1} = \lim_{m \to \infty} \frac{3m}{m} = 3$

* したがって、$\lim_{m \to \infty} \left(\frac{m^2 + 2m + 1}{m^2 - m}\right)^m = e^3$

* 問題 3-3: 級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ の収束判定

* 比判定法を用います。$a_n = \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ とすると、

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3}{3^{n+1} + 2^{n+1}} \cdot \frac{3^n + 2^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{3^n + 2^n}{3^{n+1} + 2^{n+1}}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \frac{3^n + 2^n}{3^{n+1} + 2^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + (2/3)^n}{3 + 2(2/3)^n} = \frac{1}{3}$

* したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1$ であるため、比判定法により、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n + 2^n}$ は収束します。

3. 最終的な答え

* 問題 3-1: 収束する

* 問題 3-2: $e^3$

* 問題 3-3: 収束する