与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (5k + 1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (5k + 1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

数列の和を計算するために、和の性質を利用して式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (5k + 1) = \sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、定数倍の性質を利用して $5$ を $\sum$ の外に出します。

$\sum_{k=1}^{n} 5k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k$ は $1$ から $n$ までの自然数の和であり、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ で計算できます。

また、$\sum_{k=1}^{n} 1$ は $1$ を $n$ 回足し合わせるため、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ となります。

これらの結果を代入します。

$5\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

式を整理します。

$5 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{5n(n+1)}{2} + \frac{2n}{2} = \frac{5n^2 + 5n + 2n}{2} = \frac{5n^2 + 7n}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{5n^2 + 7n}{2}$